Wie Berechnet man den ggT(f,g) für f(x)=x^3 + 4x^2 + x - 6 und g(x)= x^2 + 3x + 2 in R[x]?

Question 1

Aufgabe: Hallo Liebe Mathegemeinde, ich brauche eure Hilfe :)

Wie Berechnet man den ggT(f,g) für f(x)=x^3 + 4x^2 + x - 6 und g(x)= x^2 + 3x + 2 in R[x] ?

Problem/Ansatz: Ich habe es mit dem Euklidischen Algorithmus versucht verstehe allerdings noch nicht wie ich diesen genau umsetzen kann. Würde mich über Tipps/Lösungsvorschläge freuen.

Question 2

Aloha :)

Alle ganzzahligen Nullstellen eines Polynoms müssen Teiler der Zahl ohne $x$ sein. Für $f(x)$ ist die Zahl ohne $x$ die $(-6)$. Ihre Teiles sind $\pm1,\pm2\,\pm3\,\pm6$. Wenn wir diese Werte einsetzen, finden wir Nullstellen bei $1$, $(-2)$ und $(-3)$. Daher ist:$$f(x)=(x-1)(x+2)(x+3)$$

Für $g(x)$ ist die Zahl ohne $x$ die $2$. Ihre Teiler sind $\pm1,\pm2$. Wieder finden wir durch Einsetzen die Nullstellen bei $(-1)$ und $(-2)$. Daher ist:$$g(x)=(x+2)(x+1)$$

Das Produkt aller Linearfaktoren, die sowohl in $f$ als auch in $g$ vorkommen, sind der ggT.$$\operatorname{ggT}(f;g)=(x+2)$$

Tschakabumba · Answer 1 · 2021-06-01T01:59:33+0000

Aloha :)

Alle ganzzahligen Nullstellen eines Polynoms müssen Teiler der Zahl ohne $x$ sein. Für $f(x)$ ist die Zahl ohne $x$ die $(-6)$. Ihre Teiles sind $\pm1,\pm2\,\pm3\,\pm6$. Wenn wir diese Werte einsetzen, finden wir Nullstellen bei $1$, $(-2)$ und $(-3)$. Daher ist:$$f(x)=(x-1)(x+2)(x+3)$$

Für $g(x)$ ist die Zahl ohne $x$ die $2$. Ihre Teiler sind $\pm1,\pm2$. Wieder finden wir durch Einsetzen die Nullstellen bei $(-1)$ und $(-2)$. Daher ist:$$g(x)=(x+2)(x+1)$$

Das Produkt aller Linearfaktoren, die sowohl in $f$ als auch in $g$ vorkommen, sind der ggT.$$\operatorname{ggT}(f;g)=(x+2)$$

Wie Berechnet man den ggT(f,g) für f(x)=x^3 + 4x^2 + x - 6 und g(x)= x^2 + 3x + 2 in R[x]?

1 Antwort

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