schweres Quotienkritierium zu lösen

Question

Aufgabe:

Wie bestimme ich die Konvergenz?

Quotientenkritierium sehr schwer:

Text erkannt:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{k}}{q^{n}}, k \in \mathbb{N}, \quad q \in \mathbb{R},|q|<1 \)

Comments

Und wie lautet Deine Frage?

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Sorry, ich suche die Konvergenz der Reihe mithilfe des Quotienkritierium

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Wie bestimme ich die Konvergenz?

IMHO gar nicht, solange \(|q|<1\) ist. Bist Du sicher, dass da nicht \(|q| > 1\) steht?

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nein so steht es auf der Übung, aber was wäre denn die Lösung nach deiner Rechnung ?

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Wenn Du das Quotientenkriterium darauf anwendest, kommt heraus:$$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left(1+\frac{1}{n}\right)^k \cdot \frac 1{|q|}$$und es ist sowohl $$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^k \gt 1, \quad \forall n,\,k \in \mathbb N$$ als auch $$ \frac 1{|q|} \gt 1, \quad \text{wg.}\space |q|\lt 1$$