Wachstumsfunktion mit Basis e. Anzahl N(t) der nach t Tagen infizierten Personen: N(t) = e^{ 0.4 t}

Question

4. Der Verlauf vieler Epidemien kann durch Exponentialgleichungen beschrieben werden. Für die Anzahl N(t) der nach t Tagen infizierten Personen soll folgende Gleichung gelten: N(t) = e^{ 0.4 t}

4.1 Wie viele Individuen sind zu Beginn infiziert? 4.2 Nach welcher Zeit sind 900 Personen infiziert?

4.3 Wie viele Infizierte sind es nach 20 Tagen? 4.4 Wie groß ist die

Ausbreitungsgeschwindigkeit am Ende des 10. Tag? 4.5 Bestimmen Sie die Gleichung der

Tangente T bei t = 10. 4.6 Wie viele infizierte Personen gäbe es nach 20 Tagen, wenn die

Ausbreitungsgeschwindigkeit aus 4.4 konstant bliebe? 4.7 Wie unterscheiden sich die

Ausbreitungsgeschwindigkeiten, wenn sie mithilfe der Exponentialfunktion N bzw. der Tangente T beschrieben werden?

Comments

natürlich lautet die Funktion (e^{0,4 t})

---

Vgl. auch https://www.mathelounge.de/81724/wachstumsfunktion-efunktion-anzahl-infizierten-personen

Answer 1

4.1 Wie viele Individuen sind zu Beginn infiziert?

t = 0
N(0) = ℯ^{0} = 1

4.2 Nach welcher Zeit sind 900 Personen infiziert?
900 = ℯ^{0.4t}
ln(900) = ln(ℯ^{0.4t})
ln(900) = 0.4t
t = ln(900)/0.4
t ≈ 17 Tage

4.3 Wie viele Infizierte sind es nach 20 Tagen?
N(20) = ℯ^{0.4*20} ≈ 2981

4.4 Wie groß ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit am Ende des 10. Tag?
(ℯ^{0.4t})' = 0.4ℯ^{0.4t}
t = 10
v = 0.4ℯ^{0.4*10}
v = 21,8 Infektionen/Tag

4.5 Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente T bei t = 10.
t = 10
ℯ^{0.4*10} = 54,598

T(t) = f'(t)(t-t₀) + f(t₀)
T(t) = 21,8(t - 10) + 54.598


4.6 Wie viele infizierte Personen gäbe es nach 20 Tagen, wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit aus 4.4 konstant bliebe?

N = 20*21.8 = 436

4.7 Wie unterscheiden sich die Ausbreitungsgeschwindigkeiten, wenn sie mithilfe der Exponentialfunktion N bzw. der Tangente T beschrieben werden?

Die Geschwindigkteit, die wir per E-Funktion berechnet haben, steigt exponentiell an.
Die Geschwindigkeit, die man mithilfe der Tangente T beschreiben kann, bleibt konstant.


 

Comments

kannst du mir bitte die 4.5 und 4,7 zeigen ausführlicher zeigen ?


ohne dein profi taschenrechner zu benutzen bitte?


und so eine frage nebenbei ,bei der wachstumgeschwindigkeit oder ausbreitungsgeschwindigkeit brauch ich einfach die erste ableitung ? immer ......

---

Profi Taschenrechner? Hmm... ich benutze den Windows-Rechner, ist das ein Profi-Rechner?
Viel ausführlicher geht das aber kaum:
4.5
e^{0.4*10} = e^4 = 54.598

Das ist die Tangentengleichung in allgemeiner Form: T(t) = f'(t)(t-t₀) + f(t₀)
Das ist die spezielle Tangentengleichung an der Stelle t = 10: T(t) = 21,8(t - 10) + 54.598
Dafür braucht man aber weder nen Profi-Rechner noch den Windows-Rechner.

4.7 habe ich geändert, was ich geschrieben hatte wird vermutlich gar nicht verlangt.

Jepp, die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung nach der Zeit.

---

Ja, du packst ja dein Profitaschenrechner wie gestern, dann zeigst du mir die Rechenschritte, weil du nicht freiwilig kapitulieren willst :D und danach meinst du EOD.

Dies motiviert mich ,besser zu sein als der Taschenrechner. Siehe den , den du bei Integral verwendet hast.

 

Ich hoffe Lu, zickt net , wenn ich wieder nur Kommentare schreibe , statt mal Eigenleistung zu vollbringen ;D

 

PS: MIt ausführlich meinte ich , ob du  mir zeigst wie man dieses e mit In aufhebt. Wie du bei NR.2 gemacht hast.

---

Ja dann solltest du nächstes mal dazu schreiben, welche Rechenschritte du meinst! Hellsehen kann ich noch nicht ganz so gut...

900 = ℯ^{0.4t}
ln(900) = ln(ℯ^{0.4t})
ln(900) = 0.4t | der Logarithmus von ℯ^{0.4t} zur Basis ℯ ist 0.4t

Der Schritt ist im Grunde selbserklärend.
Zur Erklärung könnte man analog schreiben:
der Logarithmus von 10^{0.4x} zur Basis 10 ist 0.4x oder
der Logarithmus von 2^{-2.1} zur Basis 2 ist -2.1

Formal kann man auch ein Logarithmusgesetz anwenden und schreiben
ln(900) = ln(ℯ^{0.4t})
ln(900) = 0.4t ln(ℯ) | ln(ℯ) = 1, weil ℯ^1 = ℯ
ln(900) = 0.4t * 1
ln(900) = 0.4t

Klar?!

---

Hast es super erklärt :)

---

Danke und danke für den Stern!

:-)