Vom Duplikat:
Titel: Zeigen Sie: für f gelten die folgenden Eigenschaften
Stichworte: ringe,bahn,ordnungsrelation
Aufgabe:
Sei (R, +, ·) ein Ring und (R*, ·) seine Einheitengruppe. Wir definieren die Abbildung f: R* × R → R, (x,y) ↦ x·y
Zeigen Sie:
(a) f definiert eine Gruppenoperation der Gruppe R* auf der Menge R.
(b) Die Bahn von a ∈ R ist R*.a = {b ∈ R| ⟨b⟩ = ⟨a⟩, das heißt die Menge aller Erzeuger des Hauptideals ⟨a⟩.
(c) Auf der Menge der Bahnen R/R* ist folgende Ordnungsrelation definiert:
R*.a ≤ R*.b ⇔ b teilt a
Definition:
Sei M eine Menge. Wir nennen eine Relation ≤ auf der Menge M eine Ordnungsrelation, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
(a) Reflexivität: Für alle x ∈ M gilt x ≤ x
(b) Antisymmetrie: Für alle x,y ∈ M gilt
x ≤ y und y ≤ x ⇒ x=y
(c) Transitivität: Für alle x,y,z ∈ M gilt
x ≤ y und y ≤ z ⇒ x ≤ z
Problem/Ansatz:
Meine Ansätze:
(a) Zu zeigen ist:
1. e·m = m
2. (a·b)·m = a·(b·m)
1. ist für e = 1 erfüllt
2. (a·b)·m = a·b·m = a·(b·m)
(b) hier fehlt mir leider der Ansatz
(c)
1. Für alle a ∈ R/R* gilt
R*.a ≤ R*.a ⇔ a teilt a
2. Für alle a,b ∈ R/R* gilt
R*.a ≤ R*.b ⇔ b teilt a und R*.b ≤ R*a ⇔ a teilt b
⇒ a=b
3. Für alle a,b,c ∈ R/R* gilt
R*.a ≤ R*.b ⇔ b teilt a und R*.b ≤ R*.c ⇔ c teilt b
⇒ R*.a ≤ R*.c ⇔ c teilt a
