Paramtererisierung 2 dimenisonale Fläche

Question

Aufgabe:

Die Mengen
M1 = {(x, y, z) ∈ R³| x² + y² − z² = 1},
M2 = {(x, y, z) ∈ R³| x² + y² − z² = −1}
heißen einschaliges bzw. zweischaliges Hyperboloid.

Zeigen Sie, dass sich M1 ∩ (R × R × (0, ∞)) und M2 ∩ (R × R × (0, ∞)) als 2 dimensionale Flächen parametrisieren lassen.

Problem/Ansatz:

Könnte mir hier jemand einen Tipp geben, wie ich dies zeigen kann.

Answer 1

Hallo,

du musst hier mit \(\cosh\), \(\sinh\), \(\cos\) und \(\sin\) arbeiten.

Diese erfüllen \(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\) und \(\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1\)

Parameterdarstellung des Hyperboloids \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \):

$$\vec{x}(s,t)=\begin{pmatrix} a\cosh(s)\cos(t)\\b\cosh(s)\sin(t)\\c\sinh(s) \end{pmatrix} \text{ wobei } s\in \mathbb{R}, \, t \in [0,2\pi] $$