Mit den Einheitsvektoren die Drehmatrix bestimmen?

Question

Aufgabe:

Seien e₁ = (1,0)^T und e₂ = (0,1)^T Basisvektoren des IR² 

Überlegen Sie sich, wie die Koordinaten der Einheitsvektoren nach einer Drehung um den Winkel α ∈ IR im mathematisch positiven Drehsinne lauten und leiten Sie daraus die Form der dazugehörigen Drehmatrix D(α) ab!

Problem/Ansatz:

Ich kenne die Drehmatrix in der Form:

cos(α)	-sin(α)
sin(α)	cos(α)

- bin aber etwas verwirrt, wie genau die Herleitung auszusehen hat. Mein Ansatz ist, grafisch mit dem Einheitskreis und ein bisschen Trigonometrie zu argumentieren, allerdings kam dies in unserer Vorlesung noch nicht und ich weiß nicht, ob ich das schon benutzen darf ... Gibt es vielleicht einen anderen, leichteren Weg?

Grüße

Answer 1

Aloha :)

Schau dir mal bitte an, wie eine Matrix auf die beiden Einheitsvektoren wirkt:$$\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}\binom{1}{0}=\binom{a}{c}\quad;\quad\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}\binom{0}{1}=\binom{b}{d}$$

Das heißt, in die erste Spalte muss der "gedrehte" Vektor von \(\binom{1}{0}\) und in die zweite Spalte muss der "gedrehte" Vektor von \(\binom{0}{1}\).

Wenn du den Vektor \(\binom{1}{0}\) um einen kleinen Winkel \(\varphi\) im Gegenuhrzeigersinn um den Urpsrung herum verdrehst, wird die \(x\)-Koordinate \(1\) etwas kleiner zu \(\cos\varphi\) und die \(y\)-Koordinate etwas größer zu \(\sin\varphi\).

Wenn du den Vektor \(\binom{0}{1}\) entsprechend drehst, wird der \(x\)-Wert von ursprünglich \(0\) negativ zu \((-\sin\varphi)\) und der \(y\)-Wert schrumpft von \(1\) auf \(\cos\varphi\).

Ich kann das hier leider nicht zeichnen, weil ich mich mit den Tools dafür noch nie beschäftigt habe. Aber du kannst dir das bestimmt selbst aufmalen.

Zusammengefasst heißt das:$$\binom{1}{0}\to\binom{\cos\varphi}{\sin\varphi}=\binom{a}{c}\quad;\quad\binom{0}{1}\to\binom{-\sin\varphi}{\cos\varphi}=\binom{b}{d}$$

Damit hast du die beiden Spalten gefunden und erhältst genau die Darstellung der Drehmatrix, die dir bekannt war.

Comments

Ahh okay, vielen Dank, das war sehr verständlich erklärt! Eine letzte Sache noch: Wie kommt man von der letzten Zeile, wo man die beiden Spalten der Drehmatrix bestimmt hat, formal zur Drehmatrix? Also gibt es eine Operation oder ähnliches, mit der man aus zwei Vektoren eine Matrix machen kann?

Viel Dank,
Grüße

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Du kannst Martizen-Gleichungen zusammenfassen. Wenn \(A\) eine 2x2-Matrix ist, kannst du die beiden Gleichungen:$$A\binom{a}{b}=\binom{a'}{b'}\quad;\quad A\binom{c}{d}=\binom{c'}{d'}$$und zu einer Matrix-Gleichung zusammenfassen:$$A\begin{pmatrix}a & c\\b & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a' & c'\\b' & d'\end{pmatrix}$$

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Vielen Dank!