Tangentengleichung berechnen Oberstufe

Question

Aufgabe: Bestimme die Tangenten an die Funktion  -x^2+2x die sich im Punkt P (x|4,25) schneiden

…

Problem/Ansatz:

… Habe da einmal die Gleichung y1= 5x-8,25 y2=-5x + 16,75  habe es ganz normal mit Wurzel ziehen berechnet

Comments

Wenn man die Graphen plottet, stimmt zwar der Schnittpunkt mit dem y-Wert überein, aber die Geraden sind keine Tangenten.

---

"P(x|4,25)" ist kein eindeutig bezeichneter Punkt. Was wissen wir über "x"?

Answer 1

Die Tangenten seien

        \(s(x) = m_sx + b_s\)

an der Stelle \(x_s\) und

        \(t(x) = m_tx + b_t\)

an der Stelle \(x_t\). Der Schnittpunkt der Tangenten sei \(P=\left(x_P | \frac{17}{4}\right)\).

Gemeinsame Punkte von Funktionen berechnet man indem man die Funktionsterme gleichsetzt. Es gilt also

(1)        \(s(x_P) = t(x_P)\)

weil sich die Geraden im Punkt \(P\) schneiden,

(2)        \(s(x_s) = f(x_s)\)

weil Funktion und Tangente einen gemeinsamen Punkt haben wo die Tangente angelegt wird, und

(3)        \(t(x_t) = f(x_t)\)

weil Funktion und Tangente einen gemeinsamen Punkt haben wo die Tangente angelegt wird.

Der Schnittpunkt von \(s\) und \(t\) hat \(\frac{17}{4}\) als \(y\)-Koordinate. Insbesondere gilt also

(4)        \(s(x_P) = \frac{17}{4}\).

Die Tangente hat dort wo sie angelegt wird die gleiche Steigung wie die Funktion. Es gilt also

(5)        \(s'(x_s) = f'(x_s)\)

und

(6)        \(t'(x_t) = f'(x_t)\).

Löse das Gleichungssystem aus diesen sechs Gleichungen.

Comments

Ich weiß nicht wie ich auf sowas kommen soll, schreibe am Freitag eine Arbeit darüber

Answer 2

zuerst eine Zeichnung machen,damit du einen Überblick hast

f(x)=-1*x²+2*x → Scheitelpunkt bei xs=1 ys=1 → Damit P(1/4,25) sonst is die Aufgabe nicht lösbar

Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

xo=Stelle,wo die Tangente an der Funktion f(x)=.. liegen soll

f´(x)=-2*x+2

1.te Tangente y1=(-2*xo1+2)*(x-xo1)+(-1*xo1²+2*xo1)  → y1=m1*x+b1

2.te Tangente y2=(-2*xo2+2)*(x-xo2)+(-1*xo2²+2*xo2) → y2=m2*x+b1

mit P(1/4,25)

nennen wir xo1=a und xo2=b

y1=4,25=(-2*a+2)*(1-a)-1*a²+2*a → ist eine Parabel → o=a*x²+b*x+c

y2=4,25=(-2*b+2)*(1-b)-1*b²+2*b → ist eine Parbel → 0=a*x²+b*x+c

wir haben hier 2 Unbekannte,a und b und 2 Gleichungen,also lösbar

den Rest schaffst du selber.

Answer 3

"Bestimme die Tangenten an die Funktion f(x)= -x^2+2x, die sich im Punkt P (x|4,25) schneiden."

Tangentengleichung:

\( \frac{y-4,25}{x-u} \)=-2x+2

y-4,25=(-2x+2)(x-u)

y-4,25=-2x^2+2ux+2x-2u

y=-2x^2+2ux+2x-2u+4,25

z.B. u=2

y=-2x^2+4x+2x-4+4,25

y=-2x^2+6x+0,25

Nun kannst du diese Parabel mit f(x)=-x^2+2x schneiden und bekommst die beiden Berührpunkte auf der Parabel.→ Dann 2 Tangenten aufstellen.

Text erkannt:

\( \equiv \quad \) GeoGebra Classic
\( f(x)=-x^{2}+2 x \)
0
8
\( x \)
(
\( , \mathrm{h}, 1) \)
0
0
Tangente \( \left(\mathrm{B}_{1}, \mathrm{f}\right) \)