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Aufgabe: Bestimme die Tangenten an die Funktion  -x2+2x die sich im Punkt P (x|4,25) schneiden


Problem/Ansatz:

… Habe da einmal die Gleichung y1= 5x-8,25 y2=-5x + 16,75  habe es ganz normal mit Wurzel ziehen berechnet

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Wenn man die Graphen plottet, stimmt zwar der Schnittpunkt mit dem y-Wert überein, aber die Geraden sind keine Tangenten.

"P(x|4,25)" ist kein eindeutig bezeichneter Punkt. Was wissen wir über "x"?

3 Antworten

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Die Tangenten seien

        s(x)=msx+bss(x) = m_sx + b_s

an der Stelle xsx_s und

        t(x)=mtx+btt(x) = m_tx + b_t

an der Stelle xtx_t. Der Schnittpunkt der Tangenten sei P=(xP174)P=\left(x_P | \frac{17}{4}\right).

Gemeinsame Punkte von Funktionen berechnet man indem man die Funktionsterme gleichsetzt. Es gilt also

(1)        s(xP)=t(xP)s(x_P) = t(x_P)

weil sich die Geraden im Punkt PP schneiden,

(2)        s(xs)=f(xs)s(x_s) = f(x_s)

weil Funktion und Tangente einen gemeinsamen Punkt haben wo die Tangente angelegt wird, und

(3)        t(xt)=f(xt)t(x_t) = f(x_t)

weil Funktion und Tangente einen gemeinsamen Punkt haben wo die Tangente angelegt wird.

Der Schnittpunkt von ss und tt hat 174\frac{17}{4} als yy-Koordinate. Insbesondere gilt also

(4)        s(xP)=174s(x_P) = \frac{17}{4}.

Die Tangente hat dort wo sie angelegt wird die gleiche Steigung wie die Funktion. Es gilt also

(5)        s(xs)=f(xs)s'(x_s) = f'(x_s)

und

(6)        t(xt)=f(xt)t'(x_t) = f'(x_t).

Löse das Gleichungssystem aus diesen sechs Gleichungen.

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Ich weiß nicht wie ich auf sowas kommen soll, schreibe am Freitag eine Arbeit darüber

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zuerst eine Zeichnung machen,damit du einen Überblick hast

f(x)=-1*x²+2*x → Scheitelpunkt bei xs=1 ys=1 → Damit P(1/4,25) sonst is die Aufgabe nicht lösbar

Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

xo=Stelle,wo die Tangente an der Funktion f(x)=.. liegen soll

f´(x)=-2*x+2

1.te Tangente y1=(-2*xo1+2)*(x-xo1)+(-1*xo1²+2*xo1)  → y1=m1*x+b1

2.te Tangente y2=(-2*xo2+2)*(x-xo2)+(-1*xo2²+2*xo2) → y2=m2*x+b1

mit P(1/4,25)

nennen wir xo1=a und xo2=b

y1=4,25=(-2*a+2)*(1-a)-1*a²+2*a → ist eine Parabel → o=a*x²+b*x+c

y2=4,25=(-2*b+2)*(1-b)-1*b²+2*b → ist eine Parbel → 0=a*x²+b*x+c

wir haben hier 2 Unbekannte,a und b und 2 Gleichungen,also lösbar

den Rest schaffst du selber.

Avatar von 6,7 k
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"Bestimme die Tangenten an die Funktion f(x)= -x2+2x, die sich im Punkt P (x|4,25) schneiden."

Tangentengleichung:

y4,25xu \frac{y-4,25}{x-u} =-2x+2

y-4,25=(-2x+2)(x-u)

y-4,25=-2x2+2ux+2x-2u

y=-2x2+2ux+2x-2u+4,25

z.B. u=2

y=-2x2+4x+2x-4+4,25

y=-2x2+6x+0,25

Nun kannst du diese Parabel mit f(x)=-x2+2x schneiden und bekommst die beiden Berührpunkte auf der Parabel.→ Dann 2 Tangenten aufstellen.


Unbenannt1.PNG

Text erkannt:

\equiv \quad GeoGebra Classic
f(x)=x2+2x f(x)=-x^{2}+2 x
0
8
x x
(
,h,1) , \mathrm{h}, 1)
0
0
Tangente (B1,f) \left(\mathrm{B}_{1}, \mathrm{f}\right)

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