Auf welchen beiden Ziffern endet 7 hoch 2021 im Dezimalsystem?

Question

Aufgabe:

Auf welchen beiden Ziffern endet 7²⁰²¹ im Dezimalsystem?

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist 7²⁰²¹ Ξ x mod 100

Wenn ich jetzt immer quadriere als 7 = 7 mod 100 ι² und so weit lande ich bei 7²⁰⁴⁸  . Das hilft mir auch nicht weiter oder?

Vielen Dank

Comments

Betrachte die kleinen 7er Potenzen.

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da habe ich 7¹⁶ , 7³²  , 7 hoch (64,128,256,512,1024,2048)

Da ist doch auch keine in der Nähe der 21 oder?

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...kleine(!) Potenzen...

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7 hoch (2, 4 und 8)?

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Maximal hoch 4 würde ich hier als "klein" empfinden.

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Das wäre ja 7²  = 49 mod 100

und 7⁴  = 2401 mod 100

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7^{4 } = 2401 ≡ 1 mod 100

Das ist der Ansatz.

Answer 1

Hallo,

offenbar wiederholen sich die letzten beiden Ziffern im Vierer-Rhythmus.

7^{2021}

=7*(7^4)^505

=7*(...01)^505

=7*...01

= ...07

:-)

Comments

Vielen Dank, und ich weiß jetzt das die Zahl auf 07 und nicht auf 01,43 oder 49, durch die obere Rechnung?

Nach nochmaligem Durchrechnen hat sich die Frage erübrigt! Vielen Dank.

Ich habe es verstanden :)

Answer 2

$$7^{2021} = 7^{4\cdot 505 +1} = \left(7^4\right)^{505}\cdot 7 = 2401^{505} \equiv 1^{505}\cdot 7=7 \mod 100$$Die Zahl endet also mit den Ziffern 0 und 7. Das ist eine reine Kopfrechenaufgabe.

Comments

Vielen Dank für die Hilfe, durch das Erklären des 4er Rhytmuses habe ich es kapiert.