Vorliegen von Spline-Funktionen

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie für jede der folgenden Funktionen, ob diese zu einem Spline-Raum \( S_{k}(0,1,2) \) bezüglich der Stützstellen \( x_{0}=0, x_{1}=1, x_{2}=2 \) gehören. Begründen Sie Ihre Entscheidung und spezifizieren Sie gegebenenfalls den Grad \( k \).

a) \( s(x):=\left\{\begin{array}{ll}x^{3}+2 x+1 & \text { für } 0 \leq x<1 \\ x^{2}+2 & \text { für } 1 \leq x \leq 2\end{array}\right. \)

b) \( s(x)=|x-1| \quad \) für \( 0 \leq x \leq 2 \)

c) \( s(x):=x^{2}+|x-1| \) für \( 0 \leq x \leq 2 \)

d) \( s(x):=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2} x^{2}+x+1 & \text { für } 0 \leq x<1 \\ -\frac{9}{2} x^{2}+11 x-4 & \text { für } 1 \leq x \leq 2\end{array}\right. \)

könnte mir jemand bitte dabei helfen?

:)

Comments

a)  s₀(1) = 4 und s₁(1) = 3, also ist s kein Spline.
b)  s₀(x) = 1-x und s₁(x) = x-1 sind Polynome ersten Grades und es ist s₀(1) = s₁(1), also ist s ein linearer Spline.

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Danke erstmal für deine Antwort!

Ich habe nicht verstanden was du gemacht hast. Könntest du mir bitte das erklären?

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Es sind jeweils zwei Funktionen definiert: \(s_0\) auf \([0,1]\) und \(s_1\) auf \([1,2]\). Wenn die zusammengesetzte Funktion \(s\) auf \([0,2]\) ein Spline sein will, müssen \(s_0\) und \(s_1\) gewisse Bedingungen genügen.

Bei linearen Splines müssen \(s_0\) und \(s_1\) Polynome ersten Grades sein, und es muss \(s_0(1)=s_1(1)\) gelten, damit die zusammengesetzte Funktion \(s\) stetig ist. Das alles ist bei (b) der Fall.

Bei (a) kommen kubische Splines infrage, denn \(s_0\) ist ein Polynom dritten Grades. In diesen Fällen müssen außer der Bedingung \(s_0(1)=s_1(1)\) noch weitere erfüllt sein. Und zwar müssen auch die ersten beiden Ableitungen von \(s_0\) und \(s_1\) an der Stelle \(1\) übereinstimmen, d.h. \(s_0^\prime(1)=s_1^\prime(1)\) und \(s_0^{\prime\prime}(1)=s_1^{\prime\prime}(1)\). Hier gilt aber bereits \(s_0(1)\ne s_1(1)\), d.h. die zusammengesetzte Funktion \(s\) ist nicht stetig.

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bei b) wie kommst du darauf s0(x) = 1-x und s1(x) = x-1 ?

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Könntest du mir bitte noch bei c) und d) helfen?

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b)  Fallunterscheidung: Für x > 1 ist |x - 1| = x - 1. Für x < 1 ist |x - 1| = 1 - x.

Zu c)
\(\begin{array}{lcl}s_0(x)=x^2-x+1&\textsf\&&s_1(x)=x^2+x-1\\s_0^\prime(x)=2x-1&\textsf\&&s_1^\prime(x)=2x+1\\s_0(1)=1&\textsf\&&s_1(1)=1\\s_0^\prime(1)=1&\textsf\&&s_1^\prime(1)=3\end{array}\)
Die Ableitungen an der Stelle \(1\) stimmen nicht überein, also kein Spline.

Zu d)
\(\begin{array}{lcl}s_0(x)=\tfrac12x^2+x+1&\textsf\&&s_1(x)=-\tfrac92x^2+11x-4\\s_0^\prime(x)=x+1&\textsf\&&s_1^\prime(x)=-9x+11\\s_0(1)=\tfrac52&\textsf\&&s_1(1)=\tfrac52\\s_0^\prime(1)=2&\textsf\&&s_1^\prime(1)=2\end{array}\)
Die Funktionswerte und Ableitungen an der Stelle \(1\) stimmen überein, also quadratischer Spline.

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Hallo @Arsinoe4

Könntest du mir bitte dabei helfen?

Bestimmen Sie die Menge aller Polynome \( p \) für die
$$ s:[0,3] \rightarrow \mathbb{R}, \quad s(x)=\left\{\begin{array}{ll} p(x) & \text { falls } x \in[0,1) \\ 2 x^{3}-x+7 & \text { falls } x \in[1,3] \end{array}\right. $$
ein kubischer Spline zu den Stützstellen \( x_{0}=0, x_{1}=1, x_{2}=3 \) ist.

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Ein gesuchtes Polynom hat die Form \(p(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). Damit ein Spline vorliegt, muss mit \(q(x)=2x^3-x+7\) an der Nahtstelle \(x_1\) folgendes gelten:
\(p(x_1)=q(x_1)\quad\&\quad p^\prime(x_1)=q^\prime(x_1)\quad\&\quad p^{\prime\prime}(x_1)=q^{\prime\prime}(x_1)\).
Mit \(x_1=1\) führt das auf folgendes unterbestimmtes LGS:
\((1)\quad a+b+c+d=8\)
\((2)\quad 3a+2b+c=5\)
\((3)\quad 6a+2b=12\).
Nach meinen Berechnungen hat es in Abhängigkeit von \(a\) die Lösung
\(b=6-3a\quad\&\quad c=3a-7\quad\&\quad d=9-a\).
Damit wäre \(s(x)\) mit
\(p(x)=ax^3+(6-3a)x^2+(3a-7)x+(9-a)\)
für jedes \(a\in\mathbb R\) ein kubischer Spline.

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Ich verstehe das jetzt danke für deine Hilfe! :)

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Ich habe diese Aufgabe jetzt gemacht um zu gucken ob ich richtig verstanden habe oder nicht. Die Aufgabe :

Betrachten Sie die Funktion \( s:[-1,2] \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch
$$ s(x):=\left\{\begin{array}{ll} 3+\alpha x-x^{2}+\beta x^{3} & \text { für }-1 \leq x \leq 1 \\ 2+\gamma x-\delta x^{2}+\frac{2}{3} x^{3} & \text { für } 1 \leq x \leq 2 \end{array}\right. $$
Bestimmen Sie die Menge aller Parameter \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{R} \), für welche die Funktion \( s \) ein kubischer Spline mit natürlichen Randbedingungen bezüglich der drei Stützstellen \( x_{0}=-1, x_{1}=1, x_{2}=2 \) ist.

Meine Lösung :

Ist richtig so? habe ich irgendein Fehler ?

:)

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\( s(x):=\left\{\begin{array}{ll}-x^{4} & \text { für }-1 \leq x<0 \\ 0 & \text { für } 0 \leq x \leq 1 .\end{array}\right. \)


Was ist k in diesem Beispiel? k=3 oder k=4 ?

Answer 1

Hallo Elena,

Ich habe diese Aufgabe jetzt gemacht um zu gucken ob ich richtig verstanden habe oder nicht. Die Aufgabe :Betrachten Sie die Funktion \( s:[-1,2] \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch$$ s(x):=\left\{\begin{array}{ll} 3+\alpha x-x^{2}+\beta x^{3} & \text { für }-1 \leq x \leq 1 \\ 2+\gamma x-\delta x^{2}+\frac{2}{3} x^{3} & \text { für } 1 \leq x \leq 2 \end{array}\right. $$Bestimmen Sie die Menge aller Parameter \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{R} \), für welche die Funktion \( s \) ein kubischer Spline mit natürlichen Randbedingungen bezüglich der drei Stützstellen \( x_{0}=-1, x_{1}=1, x_{2}=2 \) ist.

... (s. Bild)

Ist richtig so?

Ja - das ist richtig.

"mit natürlichen Randbedingungen" heißt, dass die zweite Ableitung an den Enden des Splines zu 0 wird:$$s'_0(x)=\alpha -2x + 3\beta x^2\\ s''_0(x) = -2+6\beta x \\ s''_0(-1) = 0 \implies \beta =-\frac13\\ s'_1(x) = \gamma -2\delta x + 2x^2 \\ s''_1(x) = -2\delta + 4x \\ s''_1(2) = 0 \implies \delta = 4\\$$Daraus folgen die Werte für \(\beta\) und \(\delta\). Bei \(x=1\) muss die Funktion \(s(x)\) stetig sein ...$$\begin{aligned} s_0(1) &=s_1(1) \\3+\alpha - 1 -\frac 13 &= 2 + \gamma - 4 + \frac23 \\ \frac53+\alpha &= -\frac43 + \gamma &&|\,-\frac53\\ \alpha &= \gamma - 3\\ \end{aligned}$$... und zweimal stetig differenzierbar. Aus der ersten Ableitung$$\begin{aligned} s'_0(1) &=s'_1(1) \\ \alpha - 2 + 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)&= \gamma - 2\cdot 4 + 2 \\ \alpha -3 &= \gamma - 6 &&|\,+3\\ \alpha &= \gamma - 3 \end{aligned}$$folgt der gleiche Zusammenhang \(\alpha = \gamma - 3\) und die Stetigkeit der zweiten Ableitung$$\begin{aligned} s''_0(1) &= s''_1(1)\\ -2+ 6 \cdot\left( -\frac13\right) &= -2\cdot 4 + 4 \\ -4 &= -4 \end{aligned}$$ist mit den Vorgaben von oben erfüllt.

Comments

„"mit natürlichen Randbedingungen" heißt, dass die zweite Ableitung an den Enden des Splines zu 0 wird:“

Spielt der Grad des Polynoms eine Rolle oder is egal 2 oder 3 muss die Zweite Ableitung an den Enden des Splines zu 0 werden?

Und noch eine Frage: wie können wir die gleiche Aufgabe aber mit vollständigen Randbedingungen?

Und mit periodischen Randbedingungen?

Ich wäre sehr dankbar wenn du mir antworten würdest :)

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„"mit natürlichen Randbedingungen" heißt, dass die zweite Ableitung an den Enden des Splines zu 0 wird:“
Spielt der Grad des Polynoms eine Rolle oder is egal 2 oder 3 muss die Zweite Ableitung an den Enden des Splines zu 0 werden?

das gilt zunächst mal für kubische Splines. Bei 'Splines' 1'ter Ordung (das ist ein Streckenzug) ist die 2.Ableitung ja sowieso 0 und bei 'Splines' 2'ter Ordung - also Parabelstücken - ist die zweite Ableitung konstant.

Die Bedingung "2. Ableitung gleich 0" kommt ursprünglich von der 'Urform' der Splines, der ja ein Biegebalken ist. Die 2.Ableitung beim Biegebalken ist ein Mass für das Moment, welches an dieser Stelle auf den Balken wirkt. Und da die Splines bzw. Balkenstücke nicht eingespannt sind, wirkt am Ende auch kein Moment. Folglich ist dort die 2.Ableitung gleich 0.

Das ganze ist auch ein Energieminimum. Ein realer und idealer Biegebalken würde sich genauso verhalten.

Weiter ist es so, dass zusätzliche Bedingungen notwendig sind, um den Spline in seiner Gesamtheit zu beschreiben. Ein Spline bestehe aus \(m\) Teilen mit \(m+1\) Stützstellen. Pro Splinestück \(k\in\{1\dots m\}\) benötigt man \(n+1\) Parameter für die Koeffizienten des Polynoms. Zwei davon folgen aus der Bedingung$$s_k(x_{k-1}) = y_{k-1}, \quad s_k(x_{k}) = y_{k}\quad k \in\{1\dots m\}$$Dann kommen noch für \(m\) Splinestücke \(m-1\) Bedingungen hinzu, dass die \(n-1\) Ableitungen an den Stellen \(x_k\) mit \(k\in\{1\dots m-1\}\) überein stimme müssen. D.h. am Ende fehlen $$ m \cdot (n+1) - 2m - (m-1)(n-1) \\\quad=mn + m - 2m -mn +m+n-1 \\\quad=n-1$$\(n-1\) Bedingungen. Für \(n=3\) sind das genau die beiden 2.Ableitungen an den Enden, die zu 0 gesetzt werden können.

Und mit periodischen Randbedingungen?

... und bei periodischen kubischen Splines werden die 1. und 2.Ableitung an den Enden gleich gesetzt. So hat man wieder 2 zusätzliche Bedingungen, um den Spline eindeutig zu beschreiben.

Bei Streckenzügen (1'ter Ordung \(n=1\)) ist es sofort eindeutig und bei nichtperiodischen und quadratischen Splines \(n=2\) muss eine zusätzliche Bedingung (z.B. die Steigung an einem Ende) mit angeben werden.

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Kannst du mir bitte Beispiele geben? Dann kann ich das so gut verstehen..

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Kannst du mir bitte Beispiele geben?

Wie sollte so ein Beispiel aussehen? Soll ich vier konkrete Punkte \((x_k|\,y_k)\) nennen und dann den kubischen Spline einmal mit offenen Enden und einmal perodisch vorrechnen? (das ist relativ viel Arbeit :-/)

Oder was verstehst Du unter "Beispiel"?

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Das habe ich in meinem Skript gefunden

6.3 Kubische Spline-Interpolation

Für die zwei Randbedingungen des interpolierenden kubischen Splines wählen wir eine der drei folgenden Möglichkeiten:
(i) natürliche Randbedingungen: \( \quad s^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0, s^{\prime \prime}\left(x_{n}\right)=0 . \)
(ii) vollständige Randbedingungen: \( \quad s^{\prime}\left(x_{0}\right)=y_{0}^{\prime}, s^{\prime}\left(x_{n}\right)=y_{n}^{\prime} \), wobei \( y_{0}^{\prime} \) und \( y_{n}^{\prime} \) vorzugeben sind.
(iii) periodische Randbedingungen: \( \quad s^{\prime}\left(x_{0}\right)=s^{\prime}\left(x_{n}\right), s^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=s^{\prime \prime}\left(x_{n}\right) \),
welche nur im Fall \( y_{0}=y_{n} \) (periodische Daten) sinnvoll sind.

Das ist was du mir erklärt hast oder?

Ich verstehe nicht was \( y_{0}^{\prime} \) und \( y_{n}^{\prime} \) sind

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Kannst du mir bitte erklären was \( y_{0}^{\prime} \) und \( y_{n}^{\prime} \) sind?

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Das ist was du mir erklärt hast oder?

Ja genau - der Punkt (i) ist der mit den 2.Ableitungen gleich 0 und der Punkt (iii) ist der periodische Spline, bei dem die 1. und 2.Ableitung an den Enden gleich gesetzt wird.

Der Punkt (ii) ist schlicht die Vorgabe der Steigung (also der 1.Ableitung) mit der der Spline beginnt \(s'_0(x_0)=y'_0\) und endet \(s'(x_n)=y'n\).

Es ist ja letztlich egal, was man macht. Man benötigt bei kubischen Splines auf jeden Fall 2 weitere Bedingungen. Man könnte auch mischen - z.B.:$$s''_0(x_0) = 0 \land s'_n(x_n)=y'_n$$oder sich was anderes ausdenken. Das kommt immer auf den Anwendungsfall an.

Bem.: das \(n\) hier entspricht dem \(m\) oben in meinem Kommentar

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Vielleicht

https://www.geogebra.org/m/s5g89mqy

ein 4 Punkte Spline Natura und Periodic - die Gleichungen dazu in Zeile 5,6,7 und als Matrix Zeile 14,15

da hängen noch mehr Beispiele dran...

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Alles klar :)

Kannst du mir erklären was \( y_{0}^{\prime} \) und \( y_{n}^{\prime} \) sind

Ich verstehe immer noch nicht was die sind

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Das ist die Steigung am Anfang und am Ende des Splines.

Man kann z.B. vorgeben, dass die jeweils 0 ist. In dem Fall würden die Enden des Splines horizontal verlaufen.

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was sind \( y_{0}^{\prime} \) und \( y_{n}^{\prime} \) z.B. in meiner Aufgabe?

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Hallo Elena,

Es ist die Steigung! Weißt Du was Steigung bzw. die 1.Ableitung ist?

Und in Deiner Aufgabe steht, dass \(y‘_0\) und \(y‘_n\) vorzugeben sind. D.h. man kann sich irgendwelche Werte dafür ausdenken.

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Nein ich weiß es nicht was du mit Steigung meinst deswegen verstehe ich das irgendwie nicht..

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Nein ich weiß es nicht was du mit Steigung meinst

dann schau Dir bitte dies an:

https://www.matheretter.de/wiki/steigungsdreieck