Gibt es eine lineare Abbildung die bestimmte Eigenschaften erfüllt?

Question

Aufgabe:

Ich soll überprüfen, ob es eine lineare Abbildung φ: ℝ² --> ℝ⁴ mit den Eigenschaften φ((1,1)) = (-1,1,3,2) ; φ((2,0)) = (0,1,2,2) ; φ((-1,5)) = (-5,2,9,4) gibt, und wenn ja, die Abbildungsvorschrift angeben.

Problem/Ansatz:

Bei den vorherigen Abbildungen aus dem R^3 in den R habe ich die Abbildungen mit Hilfe eines LGS bestimmt und danach ggf. überprüft, ob es sich um eine lineare Abbildung handelt. Zu dieser Abbildung fällt mir allerdings keine Lösung ein bzw. funktioniert mein bisheriges Vorgehen nicht...

Über Anregungen wäre ich sehr dankbar!

Answer 1

Aloha :)

Wir wissen von der gesuchten linearen Abbildung \(\varphi\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^4\) wie sie einige Argumente abbildet. Wir sind optimisitisch und nehmen an, wir würden die entsprechende Abbildungsmatrix \(\Phi\) schon kennen. Die Matrix \(\Phi\) hat 2 Eingänge (Spalten) und 4 Ausgänge (Zeilen). Aus dem Text entnehmen wir die ersten beiden Eigenschaften und fassen sie zu einer Matrix-Gleichung zusammen:

$$\left(\begin{array}{r}-1\\1\\3\\2\end{array}\right)=\Phi\cdot\binom{1}{1}\;;\;\left(\begin{array}{r}0\\1\\2\\2\end{array}\right)=\Phi\cdot\binom{2}{0}\;\implies\;\left(\begin{array}{r}-1 & 0\\1 & 1\\3 & 2\\2 & 2\end{array}\right)=\Phi\cdot\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\1 & 0\end{array}\right)$$

Daraus ergibt sich die mögliche Abbildungsmatrix:$$\Phi=\left(\begin{array}{r}-1 & 0\\1 & 1\\3 & 2\\2 & 2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\1 & 0\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rr}0 & -1\\[0.5ex]\frac12 & \frac12\\[0.5ex]1 & 2\\1 & 1\end{array}\right)$$

Jetzt prüfen wir, ob die dritte und letzte angegebene Eigenschaft erfüllt ist:$$\Phi\cdot\binom{-1}{5}=\left(\begin{array}{r}-5\\2\\9\\4\end{array}\right)\quad\checkmark$$Passt alles, also gibt es eine lineare Abbildung und die Abbildungsmatrix ist \(\Phi\).

Answer 2

Wenn \(\phi\) linear ist, dann muss gelten:

\(2\phi((1,0)=\phi((2,0))=(0,1,2,2)\), also \(\phi((1,0)=(0,1/2,1,1)\).

\(\phi((0,1))=\phi((1,1)-(1,0))=\phi((1,1))-\phi((1,0))=\)

\(=(-1,1,3,2)-(0,1/2,1,1)=(-1,1/2,2,1)\).

Ist dies "kompatibel" zu \(\phi((-1,5))\) ?

\((-5,2,9,4)=\phi((-1,5))=-\phi((1,0))+5\phi((0,1))\) ????

Answer 3

Nun, die Matrix der linearen Abbildung sei

\(\small A \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}a11&a12\\a21&a22\\a31&a32\\a41&a42\\\end{array}\right)\)

und

\(\small \left\{ A \left(\begin{array}{r}1\\1\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}-1\\1\\3\\2\\\end{array}\right),\quad A \left(\begin{array}{r}2\\0\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}0\\1\\2\\2\\\end{array}\right),\quad A \left(\begin{array}{r}-1\\5\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}-5\\2\\9\\4\\\end{array}\right) \right\} \)

und damit das LGS

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{r}a11 + a12 + 1\\a21 + a22 - 1\\a31 + a32 - 3\\a41 + a42 - 2\\\end{array}\right)=0, \left(\begin{array}{r}2 \; a11\\2 \; a21 - 1\\2 \; a31 - 2\\2 \; a41 - 2\\\end{array}\right)=0, \left(\begin{array}{r}-a11 + 5 \; a12 + 5\\-a21 + 5 \; a22 - 2\\-a31 + 5 \; a32 - 9\\-a41 + 5 \; a42 - 4\\\end{array}\right) =0\right\} \)

Wie gedenkst Du das LGS zu lösen?

mit der Ergebnis

\(\small A:= \left(\begin{array}{rr}0&-1\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\1&2\\1&1\\\end{array}\right)\)