Entscheiden Sie, ob es eine lineare Abbildung ϕ mit den angegebenen Eigenschaften gibt.

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie, ob es eine lineare Abbildung ϕ mit den angegebenen Eigenschaften gibt.

\( φ: R^{3} \longrightarrow R \)

\( \varphi \left( \left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)\right)=2 ; \varphi \left( \left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)\right)=1 ; \varphi \left( \left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)\right)=1 \)

Answer 1

Die drei Vektoren, deren Bilder man kennt, nenne ich mal v1,v2,v3.

Dann ist v1 + v2 = 4*v3

Gäbe es eine lineare Abbildung, dann müsste:

phi(  v1 + v2=   phi ( 4*v3 ) sein, also wegen Linearität

phi(  v1) + phi(v2)=  4 * phi (v3 )

Aber mit den gegebenen Werten:

phi(  v1)=2 und phi(  v2) = 1 und phi(  v3) = 1

wäre das:

2  +  1  =  4 * 1

a dies eine falsche Aussage ist, gibt es eine solche lineare Abbildung nicht.

Nur warum muss v1+v2 = 4*v3 ergeben?

Das muss es nicht ergeben, sondern das ergibt es.

Setz doch einfach mal v1 und v2 und v3 ein, dann siehst du: Es stimmt.