Untersuchung zweier Funktionen auf Differenzierbarkeit

Question

Untersuchen Sie die beiden auf ℝ definierten reellen Funktionen f₁ und f₂, gegeben durch

f₁(x)= |x|³ + 3x − 2       für x ≠ 0

         −2                     für x = 0

f₂(x)= x² + 3|x| − 7       für x ≠ 0

         -7                       für x = 0

an der Stelle x₀ = 0 auf Stetigkeit, linksseitige Differenzierbarkeit, rechtsseitige Differenzierbarkeit sowie Differenzierbarkeit. Im Fall der Differenzierbarkeit bestimmen Sie für x₀ = 0 den Wert der Ableitung und die Gleichung der Tangente.

Problem: Ich habe solch eine Aufgabe noch nie bearbeitet und bräuchte einmal einen Ansatz, wie man diesen Aufgabentyp lösen würde. Vielen Dank!

Answer 1

Lass dir doch die Funktionen mal skizzieren

~plot~ abs(x)^3+3x-2;x^2+3abs(x)-7;[[-4|4|-8|8]] ~plot~

Was denkst du wie du es jetzt nachweisen könntest?

Comments

Gute Frage! :D Ich habe offensichtlich zu wenig Vorwissen, um das zu lösen. Habe mir gerade einige Videos zu Differenzierbarkeit angeguckt, komme aber irgendwie trotzdem nicht weiter. Der Transfer ist für mich schwierig.

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Zunächst sollst du die Funktionen auf Stetigkeit bei x = 0 hin überprüfen. Weißt du wie das geht ?

So Pi mal Daumen:

Linksseitiger Grenzwert = Rechtsseitiger Grenzwert = Funktionswert

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Ich würde sagen, dass lim x→ 0⁺ |x|³ + 3x − 2 = -2 und lim x → 0^- |x|3 + 3x − 2 = -2, beide Grenzwerte sind gleich, also ist die Funktion stetig. Ist das so richtig? Das Gleiche gilt für f₂(x). Und wie würde es dann weiter gehen? :)

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Korrekt. Beide Funktionen sind stetig.

Jetzt sollst du die Funktionen ableiten und das gleiche mit den Steigungen machen. Ist also quasi die Ableitung stetig.

Mache, wenn es dir hilft eine Fallunterscheidung für x > 0 und für x < 0.

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Okay! Danke dir jetzt schon sehr! :)

Ich würde das dann so machen:

f₁'(x)=  3|x|² + 3, f2'(x) = 2x+3

für f₁'(x): lim x→ 0⁺ = 3, lim x→ 0^- = 3. Da beide Grenzwerte gleich sind folgt, dass auch f₁'(x) stetig ist.

für f₂'(x): lim x→ 0⁺ = 3, lim x→ 0^- = 3. Auch hier sind beide Grenzwerte gleich, also folgt, dass auch f₂'(x) stetig ist.

Stimmt das so? Und was muss ich jetzt betrachten? :D

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f2(x) = x^2 + 3·|x| - 7

Für x > 0 gilt

f2(x) = x^2 + 3·x - 7
f2'(x) = 2·x^2 + 3

Für x < 0 gilt

f2(x) = x^2 + 3·(-x) - 7 = x^2 - 3·x - 7
f2'(x) = 2·x^2 - 3

lim (x → 0-) (2·x^2 - 3) = -3
lim (x → 0+) (2·x^2 + 3) = 3

Hier ist der linksseitige Grenzwert ungleich dem rechtsseitigen Grenzwert. Im Optimalfall hättest du bereits sehen sollen das die Funktionen nicht ohne Knick ineinander übergehen.

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Aaah! Natürlich. Jetzt sehe ich es natürlich auch sofort. Dankeschön! Und was muss ich jetzt weiter betrachten zur Vollendung der Aufgabe?

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Aaah! Natürlich. Jetzt sehe ich es natürlich auch sofort. Dankeschön! Und was muss ich jetzt weiter betrachten zur Vollendung der Aufgabe?

Da es also an der Knickstelle keine Tangentengleichung gibt bist du mit der Funktion f2 fertig. Bei der Funktion f1 solltest du es auch so machen und feststellen, dass es dort eine einheitliche Tangentensteigung gibt. Daher kannst du dort auch die Tangentengleichung aufstellen.

Dann wärst du fertig.

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Danke für die tolle Hilfe, Der_Mathecoach! Ich werde sicherlich mal bezüglich einer Nachhilfestunde auf dich zurückkommen. LG