Berechnen Sie das Integral \int \limitsG 6 x y d(x, y, z)

Question

Das Gebiet $G$ sei gegeben durch
$G:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0<x<1,0<y<\sqrt{x}, 0<z<1+x+y\right\} \text { . }$
Berechnen Sie das Integral
$\int \limits_{G} 6 x y d(x, y, z)$

Vermutlich ist es relativ einfach aber ich habe nichtmal einen Ansatz

Answer 1

Aloha :)

Hier musst du auf die Reihenfolge der Integration achten. Die Obergrenze vom Integral über $dy$ ist $\sqrt x$, hängt also von $x$ ab. Daher musst du zuerst über $dy$ integrieren, bevor du über $dx$ integrierst. Die Obergrenze vom Integral über $dz$ ist $(1+x+y)$, hängt also sowohl von $x$ als auch von $y$ ab. Daher musst du über $dz$ integrieren, bevor du über $dx$ oder $dy$ integrierst. Damit ist die Reihenfolge der Integration klar: $dz\,,\,dy\,,\,dx$.

$$I=\int\limits_{x=0}^1\,\int\limits_{y=0}^{\sqrt x}\int\limits_{z=0}^{1+x+y}6xy\,dz\,dy\,dx=\int\limits_{x=0}^1\,\int\limits_{y=0}^{\sqrt x}\left[6xyz\right]_{z=0}^{1+x+y}\,dy\,dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_{x=0}^1\,\int\limits_{y=0}^{\sqrt x}6xy(1+x+y)\,dy\,dx=\int\limits_{x=0}^1\,\int\limits_{y=0}^{\sqrt x}\left(6xy+6x^2y+6xy^2\right)\,dy\,dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_{x=0}^1\left[3xy^2+3x^2y^2+2xy^3\right]_{y=0}^{\sqrt x}\,dx=\int\limits_{0}^1\left(3x^2+3x^3+2x^{5/2}\right)dx$$$$\phantom{I}=\left[x^3+\frac{3}{4}x^4+\frac{2}{\frac{7}{2}}x^{7/2}\right]_0^1=1+\frac{3}{4}+\frac{4}{7}=1+\frac{37}{28}=\frac{65}{28}$$

Comments

Manchmal stell ich mir die Aufgaben schwerer vor als sie am Ende sind. Vielen Dank das ist also eine Aufgabe zum Satz von Fubini oder?

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Die Aufgabe hängt mit dem Satz von Fubini zusammen ;)