Zeigen sie: Es gibt keine endliche Menge M mit Span(M) = V

Question

Aufgabe:

Sei K = ℝ und V = ℝ[x].

Wir definieren die Abbildungen

+: V×V → V, (f,g) ↦ f+g

·: K×V -> V, (λ,f) ↦ λf

Zeigen sie:

(a) V ist ein K-Vektorraum

(b) Es gibt keine endliche Menge M ⊂ V mit Span(M) = V

Problem/Ansatz:

Die a habe ich bereits gezeigt. Bei der b habe ich jedoch das Problem das ich überhaupt nicht verstehe wie das Span zu verstehen ist und wie man die Behauptung beweisen soll.

Answer 1

Span(M) ist der Durchschnitt aller Untervektorräume von V, die Obermenge von M sind.

Sei M endlich.

Sei n = max {Grad p | p ∈ M}

Sei W = {p ∈ M | Grad p ≤ n}.

Dann ist W ein Untervektorraum von V mit W ⊇ M.

Also ist Span(M) ⊆ W und somit Span(M) ≠ V.