Daumen Schätzung eines Berges

Question

Aus 4 km Entfernung scheint ein Berg 3 Daumenbreiten hoch zu sein. Berechnen Sie, wie hoch der Berg wirklich ist, wenn sich bei ausgestrecktem Arm die scheinbare Breite des Daumens zu seinem Abstand vom Auge ca. wie 1:28 verhält.
Idee:

x:3 = 28:1 (kein Plan wo ich die 4km unterbringen soll)

Answer 1

Zunächst eine Skizze:

 

Wenn für das Verhältnis von 1 Daumenbreite b zum Augenabstand d gilt:

b / d = 1 / 28

dann gilt für das Verhältnis von 3 Daumenbreiten zum  Augenabstand:

3 b / d = 3 / 28

Und dann gilt aufgrund des Strahlensatzes :

3 b / d = H / 4000 

<=> 3 / 28 = H / 4000

<=> H = 3 * 4000 / 28 = 428,57 m

Der Berg ist also 428,57 m hoch (genauer: Er ist 428,57 m höher als die Augenhöhe des Betrachters).

Comments

Erstmal danke für die ausführliche Antwort.
Was ich noch nicht so verstehe:

- Warum wird aus dem Verhältnis 1:28 dann. 3:28? Das Verhältnis bleibt doch immer gleich, auch wenn's 3 Fingerbreiten sind.
Könnte ich nicht x(=1 Fingerbreite) ausrechnen und mal drei rechnen?

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Das Verhältnis bleibt doch immer gleich, auch wenn's 3 Fingerbreiten sind.

Nein, das Verhältnis von drei Daumenbreiten zum Augenabstand ist ein anderes als das Verhältnis von einer Daumenbreits zum Augenabstand.

Wenn das Verhältnis

1 * Daumenbreite / Augenabstand = 1 / 28

ist, dann ist:

3 * Daumenbreite / Augenabstand = 3 * 1 / 28 = 3 / 28

Das ist reine Arithmetik - beide Seiten der Gleichung wurden mit 3 multipliziert.

Und da die Strecke h in der Skizze 3 Daumenbreiten hoch ist ( angedeutet durch die drei Kringel), verhält sie sich zum Augenabstand eben wie 3 / 28.

 

Klar, du könntest auch erst einmal mit 1 Daumenbreite rechnen, dann musst du aber gut aufpassen, denn mit 1 Daumenbreite ergibt sich auch nur 1/3 der Berghöhe, denn wenn der Berg erst durch drei Daumenbreiten vollständig verdeckt wird, dann verdeckt eine Daumenbreite eben nur 1 / 3 des Berges.

Gerechnet mit einer Daumenbreite muss die Gleichung also so aussehen:

1 / 28 = ( H / 3 ) / 4000

Löst man dies aber nach H auf:

<=> 4000 / 28 = H / 3

<=> H = 3 * 4000 / 28

erhält man die selbe Gleichung wie in meiner Antwort - und somit auch das selbe Ergebnis.