Sei \( n \geq 1 \) und \( e_{1}, \ldots, e_{n} \in K^{n} \) die Standardbasis \( \left(e_{i}\right. \) ist also der Vektor, der an der \( i \) -ten Stelle eine 1 hat und dessen andere Einträge 0 sind). Setze \( \epsilon_{i}=\sum \limits_{j \neq i}^{n} e_{j} \).
(1) \( \operatorname{Im} \) Fall \( K=\mathbb{Q} \), ist \( \left\{\epsilon_{1}, \ldots, \epsilon_{n}\right\} \) eine Basis von \( \mathbb{Q}^{n} \) ?
(2) Sei \( p \) eine Primzahl, die \( n-1 \) teilt. Im Fall \( K=\mathbb{F}_{p} \), ist \( \left\{\epsilon_{1}, \ldots, \epsilon_{n}\right\} \) eine Basis von \( \mathbb{F}_{p}^{n} ? \) Beweisen bzw. begründen Sie Ihre Antwort.
Bis jetzt habe ich folgendes gemacht:
(1) Ja!
Beweis:
Es gilt
dim(ℚn)=n
Nach Def ⇒ |e|=ℚn
Weil dim(e)=n :⇔ ∃e1, _ ,en ∈ e: {e1,_,en} ist es eine Basis von ℚ^n
(2)
Nein!
Beweis:
?
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Also ich bin mir relativ sicher, dass die erste Aussage stimmt und die 2. Nicht. Aber verstehe nicht ganz, wie ich das beweisen soll. Ich habe zudem das Gefühl, dass der Beweis bei (1) einfach falsch ist.
LG
