Question

ist der Vektor (3,2,1) mit der Standardbasis ein anderer als (3,2,1) mit einer anderen Basis? Also meine Frage ist was genau sind diese (3,2,1) sind das die Koeffizienten der Linearkombination oder ist das wirklich die Summe der Vektoren der Linearkombination, also bei der Standardbasis wäre es ja das gleiche deswegen frage ich.

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Wenn mit (3,2,1) der Vektor an sich als Element des ℝ^3 gemeint ist, dann bleibt er eben dieser Vektor und zwar unabhängig davon, ob darüber hinaus noch eine Basis des Vektorraumes betrachtet wird.
Wenn (3,2,1) aber die Koordinaten des Vektors bezüglich einer gewählten Basis B = (b1, b2, b3) bedeutet (in diesem Fall bevorzugt man meist eine Spalten-Schreibweise), also den Vektor 3b1 + 2b2 + b3, dann hängen diese Koordinaten selbstverständlich von der Basis B ab und ändern sich bei Basiswechsel.

Die Standardbasis des ℝ^3 zeichnet sich dadurch aus, dass in diesem Fall die Koordinaten des Vektors dem Vektor selbst entsprechen.

Answer 1

(3,2,1) sind das die Koeffizienten der Linearkombination ✓

Genau so ist es.

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Genau so ist es.

Gemäß meines obigen Kommentars ist es eben nicht so.

Die Verwirrung hat ihren Ursprung wahrscheinlich in der Tatsache, dass der Vektorraum ℝ^3 aus Zahlentripeln besteht und die Koordinaten eines Vektors hier ebenfalls ein Tripel von Zahlen sind.

Wenn man sich etwa den Vektorraum V der Polynome vom Grad n≤2 ansiehst, dann bleibt die Normalparabel f mit f(x) = x^2 immer diese Normalparabel an sich, unabhängig davon, ob man zusätzlich noch eine Basis von V in Betracht zieht.

Bezüglich der Basis B1 =(x^2 , x , 1) ist dann f = 1*x^2 + 0*x + 0*1, was man in der Koordinaten-Schreibweise mit f = \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}_{B1} \) ausdrückt, bezüglich B2 = (x^2+x , x+1 , 1+x^2) wäre hingegen f = \( \begin{pmatrix} 0,5\\-0,5\\0,5 \end{pmatrix}_{B2} \). Aber immer wäre f an sich stets ein Polynom und kein Zahlentripel.

Bezüglich E = ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) wird (3,2,1) als \( \begin{pmatrix} 3\\2\\1 \end{pmatrix}_{E} \) dargestellt, bezüglich F = ((0,2,0), (1,0,0), (0,0,1)) als \( \begin{pmatrix} 1\\3\\1 \end{pmatrix}_{F} \). Es bleibt aber doch immer es selbst, nämlich (3,2,1).

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Wie bekommt so eine schlechte und vor allem falsche Antwort einen Daumen?

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Also meine Frage ist was genau sind diese (3,2,1) ???

Wenn es hier um Darstellung mit unterschiedlichen Basen geht,

wird wohl der Koordinatenvektor gemeint sein.

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Die Frage ist viel zu unpräzise gestellt.

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Es wäre wohl hilfreich, wenn der Fragesteller die exakte Angabe aus der Aufgabe angibt. Denn anhand der exakten Angabe kann man genau interpretieren, wie der Vektor (3, 2, 1) zu verstehen ist.

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Die Frage hat von mir einen Daumen und zwei ausführliche Kommentare bekommen eben weil sie wohl keine Schulbuchaufgabe ist sondern aus eigenständigen Gedanken und Überlegungen des Fragestellers entspringt.

Answer 2

Aloha :)

Du musst Vektoren und Koordinatensysteme genauer spezifizieren und separieren. Auf der einen Seite gibt es einen Vektor, auf der anderen Seite gibt es ein Koordinatensystem. Das Koordinatensystem ist ein Hilfsmittel, um die Lage und die Richtung des Vektors zu beschreiben. Die Wahl des Koordinatensystems ändert nichts an dem Vektor. Der Gravitationskraft ist es z.B völlig egal, welches Koordinatensystem wir verwenden, um sie zu beschreiben, weder ihre Wirkungsrichtung noch ihre Stärke werden von der Wahl des Koordinatensystems beeinflusst.

Jedes Koordinatensystem hat einen Ursprung, also einen Punkt, an dem es festgemacht wird. Ausgehend von diesem Punkt gibt es Basisvektoren, die verschiedene Dimensionen aufspannen und jeder für sich eine eigene Maßeinheit tragen kann. Die Koordinaten geben an, wie viele Basiseinheiten du entlang der jeweiligen Dimension zurücklegen musst, um zum Ziel zu gelangen.

Du kannst z.B. für eine Firma einen Umsatzvektor mit 2 Dimensionen definieren. Die eine Dimension ist Zeit, die andere Dimension ist Geld. Die Zeit kannst du z.B. in Monaten messen und das Geld in Mega-Euro (1 Million Euro). Als Ursprung würde sich der Umsatz zu Beginn des Monats Januar bei 0 Euro anbieten. Wenn die Firma am 1. Feb. um 0:00 Uhr dann 10 Mio. € verdient hat, wäre der entsprechende Vektor \(\binom{1}{10}\). Wählst du als Zeiteinheit nicht Monate, sondern Wochen, wäre derselbe(!) Vektor \(\binom{\frac{31}{7}}{10}\), änderst du auch noch die Einheit des Geldes von Mega-Euro auf Kilo-Euro (1000 Euro), wäre der entsprechende Vektor \(\binom{\frac{31}{7}}{10\,000}\)

Jetzt kannst du dir deine Frage selbst beantworten. Du änderst die Basis deines Koordinatensystems, behälst aber die Koordinaten bei. Dann beschreibt das Tripel \((3;2;1)\) einen anderen Vektor als zuvor.