Drücke jeden Vektor der Standardbasis als Linearkombination von x,y,z aus. x= (1,0,2), y=(0,1,3), z=(-1,0,4)

Question

Zeige: die Vektoren x= (1,0,2), y=(0,1,3), z=(-1,0,4) bilden eine Basis des R^3. Drücke jeden Vektor der Standardbasis als Linearkombination von x,y,z aus.

 

Bin über jede Hilfe dankbar!

Comments

Wenn hier der zweite Teil der Aufgaben gelingt, erübrigt sich der erste.

Da dann bereits gezeigt ist, dass die drei Vektoren R³ aufspannen und deshalb linear unabhängig sind.

Answer 1

Wir müssen zeigen dass die gegebenen Vektoren linear unabhängig ist. 

r * (1,0,2) + s * (0,1,3) = (-1,0,4)

aus der ersten Zeile folgt

1r + 0s = -1
r = -1

aus der zweiten Gleichung folgt

0r + 1s = 0
s = 0

damit ergibt sich für die dritte Zeile

2r + 3s = 4
2*(-1) + 3*0 = 4
-2 = 4

Das ist nicht erfüllt und damit sind die Vektoren linear unabhängig.

 

Nun sollen wir die Standardbasis (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) mit unseren Vektoren darstellen

r * (1,0,2) + s * (0,1,3) + t * (-1,0,4) = (1,0,0)

Das ist ein lineares Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und lässt sich nach dem Gauß lösen. Die Lösung lautet:

r = 2/3 ∧ s = 0 ∧ t = - 1/3
2/3 x - 1/3 z = (1,0,0)

Das gleiche machen wir noch mit den anderen Standardbasen

r * (1,0,2) + s * (0,1,3) + t * (-1,0,4) = (0,1,0)
r = - 1/2 ∧ s = 1 ∧ t = - 1/2
-1/2 x + y - 1/2 z = (0,1,0)

r * (1,0,2) + s * (0,1,3) + t * (-1,0,4) = (0,0,1)
r = 1/6 ∧ s = 0 ∧ t = 1/6
1/6 x + 1/6 z = (0,0,1)