Aufgabe
Sei (G, ◦) eine endliche Gruppe, g ∈ G und k ∈ N. Zeigen Sie:
i) ord(g-1)= ord(g).
ii) gk = 1G ⇐⇒ ord(g)|k.
iii) ord(g^k)|ord(g)
iv) ord(g^k) = ord(g) ⇐⇒ ggT(ord(g), k) = 1.
Problem/Ansatz:
i) n0= Ord(g)
(g^-1)^n0=(g^n0)^-1=e^-1=e
Angenommen es gäbe ein n1 < n0 (g-1)^n1=e, dann gilt
(g^-1)^n1=e <=> (g^n1)^=e <=> (g^-1)*x^n1=e*x^n1 <=> e= g^n1
Ist ein Widerspruch zu n0=ord(g). Also gilt ord(g)=ord(^-1)
ii) g^n=1g <=> g^l • g^n-l=1g
g^n-1=g^-1
g^n-2=(g^2)^-1
Ord(g^k= n/ gg5(n,k)
Das hab ich für i und ii) aber selbst bei denen bin ich mir unsicher und wie ich die anderen beiden zeigen soll, weiß ich leider nicht. Könnte mir einer helfen ?
