Skalarfeld eines wirbelfreien Vektorfelds

Question

Aufgabe A

: Zeigen Sie, dass die Rotation eines jeden kugelsymmetrischen
Vektorfeldes $$A(\vec{r})$$ verschwindet. Bestimmen Sie die allgemeine Form eines Skalarfeldes $$φ(\vec{r})$$ mit der Eigenschaft $$\nabla φ(\vec{r}) = A \vec{r}$$

Aufgabe B

Berechnen Sie nun explizit für das Vektorfeld$$V (\vec{r})=\begin{pmatrix} yz^3\\xz^3\\3xyz^2 \end{pmatrix}$$ein Skalarfeld $$Φ(\vec{r}) $$mit $$V(\vec{r})= \nabla Φ(\vec{r}) $$

Problem/Ansatz:

Soweit ich das verstehe, hat ja jedes wirbelfreie Vektorfeld ein Skalarfeld, mit der Eigenschaft, dass der Gradient des Skalarfeldes gleich dem Vektorfeld ist. Allerdings verstehe ich nicht ganz, wie ich jetzt explizit dieses Skalarfeld bestimmen kann. Könnte mir hier jemand bitte weiterhelfen?

MfG

Answer 1

Hallo

du weisst dφ /dx=y*z^3 deshalb φ=yz^3*x+f(y,z)  damit dφ/dy= z^3x+ df/dy  entsprechend die anderen Komponenten  dann vergleichen.

den ersten Teil einfach ausrechnen.

Gruß lul

Comments

Hallo, danke erstmal für die Antwort.

Also soweit ich das jetzt richtig verstehe, einfach komponentenweise integrieren?

mfg

Answer 2

Hallo,

die erste Frage würde ich so verstehen: Gegeben ist ein Feld

$$F(x)=f(\|x\|)x \text{  mit } f:\mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$$

(natürlcih mit der euklidischen Norm. Man kann dann nachrechnen: Wenn ein Potential) existier, so hängt es nur von \(\|x\|\) ab.

In der Tat: wenn \(\Phi(x)=h(\|x\|), x \neq 0\), dann ist

$$\nabla \Phi(x)=\frac{h'(\|x\|)}{\|x\|}x$$

Gruß Mathhilf