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Aufgabe:

Man berechne die Jacobi-Matrix, die Divergenz div \( \vec{v} \) und die Rotation rot \( \vec{v} \) für das Vektorfeld

\( \vec{v}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4 y^{2}+\cos (z) \\ 8 x y \\ -x \sin (z)+3 z^{2} \end{array}\right) \)

Besitzt \( \vec{v} \) eine Potentialfunktion?


Ansatz/Problem:

Ich soll die Jacobi Matrix, die Divergenz und die Rotation des Vektorfelds berechnen. Das hab ich schon berechnet:

Die jacobi matrix ist einfach J = (V/dx V/dy V/dz), die divergenz ist die div(v) = Vx/dx + Vy/dy + Vz/dz = 0 + 8x -x*cos(z) + 6z und die rotation ist einfach kreuz produkt gestellt also rot(v) = (0; sin(z); 0)

Die frage: Besitzt v eine Potentialfunktion? Wie berechnet man das?

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Hi,

Du musst eine Funktion \( u(x,y,z) \) s.d. gilt \( \nabla u(x,y,z) = v(x,y,z) \) gilt. Die Funktion \( u(x,y,z) \) nennt man dann die Potentialfunktion von \( v(x,y,z) \)

Es muss also gelten \( u_x = 4y^2+\cos(z) \) D.h. es gilt \( u(x,y,z) = 4y^2x+\cos(z)x+f(y,z) \) mit einer beliebigen Funktion \( f(y,z) \), ähnlich einer Integrationskonstante.

Daraus folgt \( u_y = 8yx+f_y(y,z) = 8xy \) und daraus folgt \( f_y(y,z) = 0 \) also \( f(y,z) = g(z) \) und daraus

\(  u(x,y,z) = 4y^2x+\cos(z)x+g(z) \) daraus folgt \( u_z = -\sin(z)x+g'(z) = -x\sin(z) + 3z^2 \) und daraus \( g(z)  = z^3 \)

Also ist \(  u(x,y,z) = 4y^2x+x\cos(z)+z^3 \) eine Potentialfunktion

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Also, muss ich eine funktion bilden die wenn man sie gegen X,Y und Z ableitet die matrix oben bekommen??

Also soll ich einfach Vx, Vy und Vz integrieren und sehen welche eine potentialfunktion ergibt???

Ich habe meine Antwort noch erweitert. Schau da nochmal rein.

also ich habe das so 90% verstanden, nur leider verstehe ich noch nicht das mit der g(x) funktion. wie geht das denn?? du hast geschrieben:

Daraus folgt \( u_{y}=8 y x+f_{y}(y, z)=8 x y \) und daraus folgt \( f_{y}(y, z)=0 \) also \( f(y, z)=g(z) \) und daraus

und wie hast du jetzt bekommen das g(z) = Z3 ist???

wenn \( f_y(y,z) = 0  \) gilt, dann hängt \( f(y,z) \) sicher nicht von \( y \) ab sondern nur noch von \( z \) und das wird durch die Funktion \( g(z) \) ausgedrückt, die ja noch beliebig ist und erst im letzten Schritt bestimmt wird.

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