Hi,
Du musst eine Funktion \( u(x,y,z) \) s.d. gilt \( \nabla u(x,y,z) = v(x,y,z) \) gilt. Die Funktion \( u(x,y,z) \) nennt man dann die Potentialfunktion von \( v(x,y,z) \)
Es muss also gelten \( u_x = 4y^2+\cos(z) \) D.h. es gilt \( u(x,y,z) = 4y^2x+\cos(z)x+f(y,z) \) mit einer beliebigen Funktion \( f(y,z) \), ähnlich einer Integrationskonstante.
Daraus folgt \( u_y = 8yx+f_y(y,z) = 8xy \) und daraus folgt \( f_y(y,z) = 0 \) also \( f(y,z) = g(z) \) und daraus
\( u(x,y,z) = 4y^2x+\cos(z)x+g(z) \) daraus folgt \( u_z = -\sin(z)x+g'(z) = -x\sin(z) + 3z^2 \) und daraus \( g(z) = z^3 \)
Also ist \( u(x,y,z) = 4y^2x+x\cos(z)+z^3 \) eine Potentialfunktion