Hat das Vektorfeld ein Potential? Sowie Rotation, Divergenz und Kurvenintegral berechnen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei das Vektorfeld

\( \vec{A}(\vec{r})=\left(\begin{array}{c} 4 \sinh (4 x+2 y+z) \\ 2 \sinh (4 x+2 y+z) \\ \sinh (4 x+2 y+z)-1 \end{array}\right) \)

Hat das Vektorfeld \( \vec{A}(\vec{r}) \) ein Potential \( \phi(\vec{r}) \), so dass gilt \( \nabla \phi(\vec{r})=\vec{A}(\vec{r}) ? \)

1) Hat das gegebene Vektorfeld ein Potential

2) Berechne die Norm der Rotation des Vektorfeldes bei (Vektor)r=(0,0,0)

3) Brechne die Divergenz des Vektorfeldes bei (vektor)r=(0,0,0)

4) Brechne das Kurvenintegral des Vektorfelds entland des Weges mit der folgenden Parametrisierung:

\( \vec{r}(t)=\left(\begin{array}{l} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1+t \\ t \\ -1+2 t \end{array}\right) \)

im Intervall zwischen \( t=0 \) und \( t=1 \).

Problem/Ansatz:

Meine Ansätze:

1) Ich hätte bei der ersten Frage gesagt, dass es ein Potential gibt, weil die Rotation vom Vektorfeld 0 ist

2) folgend aus Frage 1 hätte ich wieder 0 gesagt aber der gegebene vektor r irritiert mich und bin mir deshalb unsicher, ob 0 stimmen würde

Bei Frage 3 & 4 weiß ich leider nicht wie ich vorgehen soll. Ich wäre daher sehr froh, wenn mir da irgendwer helfen könnte.

Answer 1

Aloha :)

$$\vec A(\vec r)=\begin{pmatrix}4\sinh(4x+2y+z)\\2\sinh(4x+2y+z)\\\sinh(4x+2y+z)-1\end{pmatrix}$$

zu a) Man kann das Potential des Vektorfeldes sofort ablesen:$$\Phi(\vec r)=\cosh(4x+2y+z)-z$$denn durch einfaches Nachrechnen findet man:$$\partial_x\Phi(\vec r)=4\sinh(4x+2y+z)$$$$\partial_y\Phi(\vec r)=2\sinh(4x+2y+z)$$$$\partial_z\Phi(\vec r)=4\sinh(4x+2y+z)-1$$

zu b) Da die Rotation eines Gradientenfeldes verschwindet, gilt:$$\operatorname{rot}\vec A(\vec r)=\operatorname{rot}\operatorname{grad}\Phi(\vec r)=\vec 0$$Die gesuchte Norm ist also \(=0\).

zu c) Die Divergenz der Vektorfeldes \(\vec A\) erhalten wir so:$$\operatorname{div}\vec A(\vec r)=\partial_xA_x+\partial_yA_y+\partial_zA_z$$$$\phantom{\operatorname{div}\vec A(\vec r)}=16\cosh(4x+2y+z)+4\cosh(4x+2y+z)+\cosh(4x+2y+z)-1$$$$\phantom{\operatorname{div}\vec A(\vec r)}=21\cosh(4x+2y+z)-1$$

zu d) Das Kurvenintegral entlang des Weges \(\vec r(t)=(1+t;t;-1+2t)\) mit \(t\in[0;1]\):$$I=\int\limits_0^1\vec A(\vec r(t))\,\frac{d\vec r(t)}{dt}\,dt=\int\limits_0^1\begin{pmatrix}4\sinh(8t+3)\\2\sinh(8t+3)\\\sinh(8t+3)-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}dt=\int\limits_0^1\left(8\sinh(8t+3)-2\right)dt$$$$\phantom{I}=\left[\cosh(8t+3)-2t\right]_0^1=\cosh(11)-2-\cosh(3)\approx29\,925,0032$$

Comments

Vielen Dank :)

Hätte nur eine Frage zu d. und zwar wieso fällt die 8 beim vorletzten schritt (cosh(8t+3)…) weg?

sollte es nicht 8*cosh(8t+3)-2t sein?

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Die \(8\) fällt weg, weil bei der Integration durch die innere Ableitung von \(\sinh(8t+3)\), also durch die \(8\), dividert werden muss.

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Jetzt versteh ich es, danke!