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Aufgabe:

Vektorfeld v \vec{v} : R\ {0 \vec{0} } → R3

ist gegeben durch

v \vec{v} (x,y,z) = 1x2+y2+z2 \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} (xyz) \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} (yx0) \begin{pmatrix} -y\\x\\0 \end{pmatrix}


- Bestimme die Divergenz und Rotation von v \vec{v} in kartesischen Koordinaten

- Schreibe v \vec{v} in Kugelkoordinaten

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Hallo

 div unt rot sind doch einfach nur partielle Ableitungen richtig zusammensetzen. das meiste ist Schreibarbeit, Also musst du schon genauer sagen. was daran du nicht kannst .

lul

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Aloha :)

v=1x2+y2+z2(xyz)+(yx0)\vec v=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix}Divergenz und Rotation kann man mit der Produktregel gut ausrechnen:divv=div(1rr)+(x(y)+yx)=0=grad(1r)r+1rdivr\operatorname{div}\vec v=\operatorname{div}\left(\frac{1}{r}\,\vec r\right)+\overbrace{\left(\frac{\partial}{\partial x}(-y)+\frac{\partial}{\partial y}x\right)}^{=0}=\operatorname{grad}\left(\frac{1}{r}\right)\vec r+\frac{1}{r}\operatorname{div}\vec rdivv=1r2r0r+1r(xx+yy+zz)=3=1r3rr+3r=2r\phantom{\operatorname{div}\vec v}=-\frac{1}{r^2}\,\vec r^0\,\vec r+\frac{1}{r}\underbrace{\left(\frac{\partial}{\partial x}x+\frac{\partial}{\partial y}y+\frac{\partial}{\partial z}z\right)}_{=3}=-\frac{1}{r^3}\vec r\,\vec r+\frac{3}{r}=\frac{2}{r}rotv=rot(1rr)+rot(yx0)=grad(1r)×r+1rrotr+rot(yx0)\operatorname{rot}\vec v=\operatorname{rot}\left(\frac{1}{r}\,\vec r\right)+\operatorname{rot}\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix}=\operatorname{grad}\left(\frac{1}{r}\right)\times\vec r+\frac{1}{r}\operatorname{rot}\vec r+\operatorname{rot}\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix}rotv=1r2r0×r+1r(xyz)×(xyz)+(xyz)×(yx0)\phantom{\operatorname{rot}\vec v}=-\frac{1}{r^2}\vec r^0\times\vec r+\frac{1}{r}\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix}rotv=1r3r×r=0+1r(000)+(001(1))=(002)\phantom{\operatorname{rot}\vec v}=-\frac{1}{r^3}\underbrace{\vec r\times\vec r}_{=\vec 0}+\frac{1}{r}\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}In Kugelkoordinaten lautet v\vec v:v=1r(rcosφsinϑrsinφsinϑrcosϑ)+(rsinφsinϑrcosφsinϑ0)\vec v=\frac{1}{r}\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\varphi\sin\vartheta\\0\end{pmatrix}v=(cosφsinϑsinφsinϑcosϑ)+rsinϑ(sinφcosφ0)\phantom{\vec v}=\begin{pmatrix}\cos\varphi\sin\vartheta\\\sin\varphi\sin\vartheta\\\cos\vartheta\end{pmatrix}+r\sin\vartheta\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\0\end{pmatrix}

Avatar von 152 k 🚀

hey, was soll das r \vec{r} 0 bedeuten?

Das ist der Einheitsvektor:r0rr=rr\vec r^0\coloneqq\frac{\vec r}{\left\|\vec r\right\|}=\frac{\vec r}r

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