Aufgabe:
Vektorfeld v⃗ \vec{v} v: R3 \ {0⃗ \vec{0} 0 } → R3
ist gegeben durch
v⃗ \vec{v} v (x,y,z) = 1x2+y2+z2 \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} x2+y2+z21 (xyz) \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} ⎝⎛xyz⎠⎞ + (−yx0) \begin{pmatrix} -y\\x\\0 \end{pmatrix} ⎝⎛−yx0⎠⎞
- Bestimme die Divergenz und Rotation von v⃗ \vec{v} v in kartesischen Koordinaten
- Schreibe v⃗ \vec{v} v in Kugelkoordinaten
Hallo
div unt rot sind doch einfach nur partielle Ableitungen richtig zusammensetzen. das meiste ist Schreibarbeit, Also musst du schon genauer sagen. was daran du nicht kannst .
lul
Aloha :)
v⃗=1x2+y2+z2(xyz)+(−yx0)\vec v=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix}v=x2+y2+z21⎝⎛xyz⎠⎞+⎝⎛−yx0⎠⎞Divergenz und Rotation kann man mit der Produktregel gut ausrechnen:divv⃗=div(1r r⃗)+(∂∂x(−y)+∂∂yx)⏞=0=grad(1r)r⃗+1rdivr⃗\operatorname{div}\vec v=\operatorname{div}\left(\frac{1}{r}\,\vec r\right)+\overbrace{\left(\frac{\partial}{\partial x}(-y)+\frac{\partial}{\partial y}x\right)}^{=0}=\operatorname{grad}\left(\frac{1}{r}\right)\vec r+\frac{1}{r}\operatorname{div}\vec rdivv=div(r1r)+(∂x∂(−y)+∂y∂x)=0=grad(r1)r+r1divrdivv⃗=−1r2 r⃗0 r⃗+1r(∂∂xx+∂∂yy+∂∂zz)⏟=3=−1r3r⃗ r⃗+3r=2r\phantom{\operatorname{div}\vec v}=-\frac{1}{r^2}\,\vec r^0\,\vec r+\frac{1}{r}\underbrace{\left(\frac{\partial}{\partial x}x+\frac{\partial}{\partial y}y+\frac{\partial}{\partial z}z\right)}_{=3}=-\frac{1}{r^3}\vec r\,\vec r+\frac{3}{r}=\frac{2}{r}divv=−r21r0r+r1=3(∂x∂x+∂y∂y+∂z∂z)=−r31rr+r3=r2rotv⃗=rot(1r r⃗)+rot(−yx0)=grad(1r)×r⃗+1rrotr⃗+rot(−yx0)\operatorname{rot}\vec v=\operatorname{rot}\left(\frac{1}{r}\,\vec r\right)+\operatorname{rot}\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix}=\operatorname{grad}\left(\frac{1}{r}\right)\times\vec r+\frac{1}{r}\operatorname{rot}\vec r+\operatorname{rot}\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix}rotv=rot(r1r)+rot⎝⎛−yx0⎠⎞=grad(r1)×r+r1rotr+rot⎝⎛−yx0⎠⎞rotv⃗=−1r2r⃗0×r⃗+1r(∂x∂y∂z)×(xyz)+(∂x∂y∂z)×(−yx0)\phantom{\operatorname{rot}\vec v}=-\frac{1}{r^2}\vec r^0\times\vec r+\frac{1}{r}\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix}rotv=−r21r0×r+r1⎝⎛∂x∂y∂z⎠⎞×⎝⎛xyz⎠⎞+⎝⎛∂x∂y∂z⎠⎞×⎝⎛−yx0⎠⎞rotv⃗=−1r3r⃗×r⃗⏟=0⃗+1r(000)+(001−(−1))=(002)\phantom{\operatorname{rot}\vec v}=-\frac{1}{r^3}\underbrace{\vec r\times\vec r}_{=\vec 0}+\frac{1}{r}\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}rotv=−r31=0r×r+r1⎝⎛000⎠⎞+⎝⎛001−(−1)⎠⎞=⎝⎛002⎠⎞In Kugelkoordinaten lautet v⃗\vec vv:v⃗=1r(rcosφsinϑrsinφsinϑrcosϑ)+(−rsinφsinϑrcosφsinϑ0)\vec v=\frac{1}{r}\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\varphi\sin\vartheta\\0\end{pmatrix}v=r1⎝⎛rcosφsinϑrsinφsinϑrcosϑ⎠⎞+⎝⎛−rsinφsinϑrcosφsinϑ0⎠⎞v⃗=(cosφsinϑsinφsinϑcosϑ)+rsinϑ(−sinφcosφ0)\phantom{\vec v}=\begin{pmatrix}\cos\varphi\sin\vartheta\\\sin\varphi\sin\vartheta\\\cos\vartheta\end{pmatrix}+r\sin\vartheta\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\0\end{pmatrix}v=⎝⎛cosφsinϑsinφsinϑcosϑ⎠⎞+rsinϑ⎝⎛−sinφcosφ0⎠⎞
hey, was soll das r⃗ \vec{r} r0 bedeuten?
Das ist der Einheitsvektor:r⃗0≔r⃗∥r⃗∥=r⃗r\vec r^0\coloneqq\frac{\vec r}{\left\|\vec r\right\|}=\frac{\vec r}rr0 : =∥r∥r=rr
Siehe hier https://de.wikipedia.org/wiki/Divergenz_eines_Vektorfeldes und https://de.wikipedia.org/wiki/Rotation_eines_Vektorfeldes
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