Aloha :)
Das totale Differential ist die Jacobi-Matrix, die im Fall einer Funktion \(\mathbb R^n\to\mathbb R\) gleich dem Gradienten ist:
$$\operatorname{grad}f(\vec x)=\begin{pmatrix}\partial_x f\\\partial_y f\\\partial_z f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{z+1}{y^2+1}\\[1ex]-\frac{2xy(z+1)}{(y^2+1)^2}\\[1ex]\frac{x}{y^2+1}\end{pmatrix}\implies\operatorname{grad}f(1;2;0)=\begin{pmatrix}1/5\\-4/25\\1/5\end{pmatrix}=\frac{1}{25}\begin{pmatrix}5\\-4\\5\end{pmatrix}$$
Die Divergenz und die Rotation des anderen Vektorfeldes lauten:$$\operatorname{div}\vec F(\vec x)=\operatorname{div}\left(\begin{array}{c}x^2\\y\\x^2+y^2+z^2\end{array}\right)=\frac{\partial(x^2)}{\partial x}+\frac{\partial(y)}{\partial y}+\frac{\partial(x^2+y^2+z^2)}{\partial z}=2x+1+2z$$
$$\operatorname{rot}\vec F(\vec x)=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\left(\begin{array}{c}x^2\\y\\x^2+y^2+z^2\end{array}\right)=\begin{pmatrix}2y-0\\0-2x\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2y\\-2x\\0\end{pmatrix}$$
