Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes

Question

Aufgabe:

\( v(x, y, z)=-\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{3 / 2}\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right), \quad(x, y, z) \neq(0,0,0) \)

Problem/Ansatz:

Die Aufgabe ist es die Divergenz und Rotation der Gleichung zu berechnen. Hat jemand einen Ansatz, wie das gehen könnte?

Answer 1

Skalarprodukt des Nabla-Operators mit dem Vektorfeld ,

hier also zunächst: partielle Ableitung der 1. Komponente

nach x, das gibt (2x^2 -y^2 -z^2)/(x^2+y^2+z^2)^(5/2)

dann 2. Komp. nach y , das gibt (2y^2 -x^2 -z^2)/(x^2+y^2+z^2)^(5/2)

und die 3. nach z gibt (2z^2 -y^2 -x^2)/(x^2+y^2+z^2)^(5/2)

Dann die drei Ergebnisse addieren (wegen Skalarprodukt) gibt 0.

Also ist das Feld quellfrei.

Rotation: Berechne einfach formal das Kreuzprodukt:

$$\begin{pmatrix} \frac{∂}{∂x}\\\frac{∂}{∂y}\\\frac{∂}{∂z} \end{pmatrix}  X\left(\begin{array}{l}-\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{3 / 2}*x \\ -\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{3 / 2} *y\\ -\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{3 / 2}*z\end{array}\right)$$

Comments

Wenn ich den Term partiell ableite, dann kommt bei mir 3x(1/(x^2+y^2+z^2))^(5/2) raus bzw. das ganze mit 3y oder 3z und wenn ich diese dann addiere, dann kommt da nicht null raus. Habe oich mich verechnet oder liegt der Fehler in ihrer Lösung?

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Hat sich erledigt...man muss das ganze ja noch mit dem Vektor verrechnen.

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Dann mal langsam:

-x /  (  x^2 + y^2 + z^2)^(3/2) nach x ableiten gibt

nach der Quotientenregel

( (  x^2 + y^2 + z^2)^(3/2) *(-1) - (-x)*(3/2)*(  x^2 + y^2 + z^2)^(1/2) *2x )    /    (  x^2 + y^2 + z^2)^3

=  (  x^2 + y^2 + z^2)^(1/2)*( ( (  x^2 + y^2 + z^2)*(-1) +3x^2 )   /    (  x^2 + y^2 + z^2)^3

Mit (  x^2 + y^2 + z^2)^(1/2) kürzen gibt

(2x^2 - y^2 - z^2)     /    (  x^2 + y^2 + z^2)^(5/2).

Answer 2

Aloha :)$$\vec v(x,y,z)=-\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=-\frac{1}{r^3}\vec r$$$$\operatorname{div}\vec v=\vec\nabla\left(-\frac{1}{r^3}\vec r\right)=\vec\nabla\left(-\frac{1}{r^3}\right)\vec r-\frac{1}{r^3}\,\vec\nabla\vec r=\frac{3}{r^4}\vec r^0\,\vec r-\frac{3}{r^3}=0$$$$\operatorname{rot}\vec v=\vec\nabla\times\left(-\frac{1}{r^3}\vec r\right)=\vec\nabla\left(-\frac{1}{r^3}\right)\times\vec r-\frac{1}{r^3}\,\vec\nabla\times\vec r=\frac{3}{r^4}\vec r^0\times\vec r-\frac{1}{r^3}\cdot\vec 0=\vec 0$$