Divergenz und Rotation von Vektorfeld bestimmen

Question

Aufgabe:

Vektorfeld \( \vec{v} \): R³ \ {\( \vec{0} \) } → R³

ist gegeben durch

\( \vec{v} \) (x,y,z) = \( \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \) \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} -y\\x\\0 \end{pmatrix} \)

- Bestimme die Divergenz und Rotation von \( \vec{v} \) in kartesischen Koordinaten

- Schreibe \( \vec{v} \) in Kugelkoordinaten

Comments

Hallo

 div unt rot sind doch einfach nur partielle Ableitungen richtig zusammensetzen. das meiste ist Schreibarbeit, Also musst du schon genauer sagen. was daran du nicht kannst .

lul

Answer 1

Aloha :)

$$\vec v=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix}$$Divergenz und Rotation kann man mit der Produktregel gut ausrechnen:$$\operatorname{div}\vec v=\operatorname{div}\left(\frac{1}{r}\,\vec r\right)+\overbrace{\left(\frac{\partial}{\partial x}(-y)+\frac{\partial}{\partial y}x\right)}^{=0}=\operatorname{grad}\left(\frac{1}{r}\right)\vec r+\frac{1}{r}\operatorname{div}\vec r$$$$\phantom{\operatorname{div}\vec v}=-\frac{1}{r^2}\,\vec r^0\,\vec r+\frac{1}{r}\underbrace{\left(\frac{\partial}{\partial x}x+\frac{\partial}{\partial y}y+\frac{\partial}{\partial z}z\right)}_{=3}=-\frac{1}{r^3}\vec r\,\vec r+\frac{3}{r}=\frac{2}{r}$$$$\operatorname{rot}\vec v=\operatorname{rot}\left(\frac{1}{r}\,\vec r\right)+\operatorname{rot}\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix}=\operatorname{grad}\left(\frac{1}{r}\right)\times\vec r+\frac{1}{r}\operatorname{rot}\vec r+\operatorname{rot}\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix}$$$$\phantom{\operatorname{rot}\vec v}=-\frac{1}{r^2}\vec r^0\times\vec r+\frac{1}{r}\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix}$$$$\phantom{\operatorname{rot}\vec v}=-\frac{1}{r^3}\underbrace{\vec r\times\vec r}_{=\vec 0}+\frac{1}{r}\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}$$In Kugelkoordinaten lautet \(\vec v\):$$\vec v=\frac{1}{r}\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\varphi\sin\vartheta\\0\end{pmatrix}$$$$\phantom{\vec v}=\begin{pmatrix}\cos\varphi\sin\vartheta\\\sin\varphi\sin\vartheta\\\cos\vartheta\end{pmatrix}+r\sin\vartheta\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\0\end{pmatrix}$$

Comments

hey, was soll das \( \vec{r} \)⁰ bedeuten?

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Das ist der Einheitsvektor:$$\vec r^0\coloneqq\frac{\vec r}{\left\|\vec r\right\|}=\frac{\vec r}r$$

Answer 2

Siehe hier https://de.wikipedia.org/wiki/Divergenz_eines_Vektorfeldes und https://de.wikipedia.org/wiki/Rotation_eines_Vektorfeldes