Extremwertaufgabe: Wieso dieser Definitionsbereich?

Question

Hallöchen, folgende Extremwertaufgabe: Bestimmen Sie den Radius r, die Höhe h und das Volumen V desjenigen Kreiszylinders, der bei gegebenem Oberflächeninhalt O (O= pi cm^2 ) maximales Volumen V hat.

Problem/Ansatz: Laut Lösung soll der Definitionsbereich D = [ 0; (O/2pi)^0,5 ] sein. Das Volumen wird maximal für r=0,5 und h=2^0,5

Meine Frage ist, wieso dieser Definitionsbereich? Dass r und h nicht 0 oder kleiner als 0 sein dürfen erschließt sich mir, wie kommt aber die Obergrenze ( (O/2pi)^0,5 ) zustande?

Answer 1

\(\begin{aligned} &  & O & =2\pi r^2+ 2\pi r h\\ & \implies & h & =\frac{O}{2\pi r}-r\\ \\ &  & h & \geq0\\ & \implies & \frac{O}{2\pi r}-r & \geq0\\ & \implies & \frac{O}{2\pi r} & >r\\ & \implies & \frac{O}{2\pi} & >r^{2}\\ & \implies & \sqrt{\frac{O}{2\pi}} & >r \end{aligned}\)