tut mir leid, dass ich erst jetzt Zeit dafür finde.
Ich kann nicht nachvollziehen, wie du die Nullstelle berechnet hast. Egal was ich versuche, ich schaffe es nicht ein Ergebnis für die erste Ableitung zu finden.
Die Funktion haben wir, wie man sie herleitet kommt dann später:
$$ L(a) = \frac{2.5}{\sin(a)} + \frac{1.5}{\cos(a)} $$
diese leiten wir ab. Da es hier eine Summe ist können wir uns die Ableitung der beiden Summanden einzeln anschauen:
$$ \frac{d}{da} \frac{2.5}{\sin(a)} = 2.5 \frac{d}{da} \frac{1}{\sin(a)} = - 2.5 \frac{\cos(a)}{\sin(a)^2} $$
Verwende dazu die Ketten- oder Quotientenregel, geht mMn. beides sehr einfach. Beim zweiten Summanden das gleiche:
$$ \frac{d}{da} \frac{1.5}{\cos(a)} = 1.5 \frac{d}{da} \frac{1}{\cos(a)} = 1.5 \frac{\sin(a)}{\cos(a)^2} $$
Also insgesamt:
$$ L'(a) = 1.5 \frac{\sin(a)}{\cos(a)^2} - 2.5 \frac{\cos(a)}{\sin(a)^2} \stackrel{!}{=} 0 $$
Wir formen etwas um:
$$ 1.5 \frac{\sin(a)}{\cos(a)^2} = 2.5 \frac{\cos(a)}{\sin(a)^2} $$
und
$$ 1.5 \sin(a)^3 = 2.5 \cos(a)^3 $$
$$ \frac{2.5}{1.5} = \frac{\sin(a)^3 }{\cos(a)^3 } = \tan(a)^3 $$
$$ \sqrt[3]{\frac{5}{3}} = \tan(a) $$
Also erhalten wir:
$$ a = \arctan\left(\sqrt[3]{\frac{5}{3}}\right) \approx 49.85°$$
-------------------
Ebenfalls verstehe ich nicht, wie die Funktion für L zu Stande kommt. Müsste man nicht ein zweites Dreieck konstruieren?
Ich mache für dich noch eine Skizze:
~draw~ strecke(0|0 0|5){000};strecke(-1.5|2.5 -1.5|5){000};strecke(0|0 -5|0){000};strecke(-1.5|2.5 -5|2.5){000};kreissektor(-4|0 1 0 45){F00}#;kreissektor(-1.5|2.5 1 180 225){F00}#;kreissektor(0|4 1 180 225){F00}#;dreieck(-4|0 -1.5|2.5 -4|2.5){0F0}#;dreieck(-1.5|2.5 0|4 -1.5|4){0F0}#;text(-4.5|1.25 "2.5");text(-1|4.2 "1.5");zoom(5);alpha(1) ~draw~
Du teilst die Strecke einfach in zwei DreiecksHypotenusen. Von diesen kennst du jeweils eine Seite und einen Winkel (die roten Winkel sind gleich groß!) so kannst du L in Abhängigkeit von a darstellen.
---------------------------
Und die letzte Frage wofür steht das min? Wir arbeiten wahrscheinlich mit anderen Begriffen.
min steht für Minimum. Ich meine mit diesem Audruck das Minimum der Funktion im Intervall (0°, 90°).
