Die einzig sinnvolle Lösung ist wohl die, die Grundfläche der Pyramide konzentrisch zur Fläche der Pappe anzuordnen, aber um 45° zu drehen.
Wählt man nun als Länge der Seite der Grundfläche x, dann gilt für die Höhe der Seitenfläche:
2h + x = √2 * a
h = a/√2 - x/2
Um das Volumen der Pyramide auszurechnen, braucht man aber die räumliche Höhe H, die erhält man nach dem Satz des Pythagoras:
h² = H²+x²/4
H² = h² - x²/4
H² = a²/2 - ax/√2 + x²/4 - x²/4 = a²/2 - ax/√2
H = √(a²/2 - ax/√2)
Das Volumen ist also:
V = 1/3*x²*H = 1/3*x²*√(a²/2 - ax/√2)
Dieses Volumen soll maximal sein, also benötigt man die Ableitung:
$$ V ( x ) = \frac { a x ( 2 \sqrt { 2 } a - 5 x ) } { 6 \sqrt { a ( a - \sqrt { 2 } x ) } } $$
Die Nullstelle in x liegt bei:
x = 2√2 a/5
Damit beträgt das Volumen:
$$ V = \frac { 4 } { 75 } \sqrt { \frac { 2 } { 5 } } a ^ { 3 } $$
Alternativ kann man noch probieren, die Grundfläche parallel zur Außenfläche reinzulegen.
Dann bekommt man für die Höhe der Seitenflächen:
2h + x = a
h = a/2 - x/2
Mit dem gleichen H² = h² - x²/4
erhält man also
H² = a²/4 - ax/4
H = √(a²/4 - ax/4)
Fürs Volumen also
V = 1/3 x² √(a²/4 - ax/4)
$$ V ( x ) = \frac { a x ( 4 a - 5 x ) } { 12 \sqrt { a ( a - x ) } } $$
Mit der relevanten Nullstelle bei x = 4/5 a
und dem Extremalvolumen:
V = 8/(75 √5) * a³
Ich hatte es nicht erwartet, aber das zweite Volumen ist größer. Naja, so kann man sich täuschen :-)
