Man berechnet das Argument meistens über den Arkustangens. Das funktioniert aber nur im ersten und vierten Quadranten der Gaußschen Zahlenebene, weil der Arkustangens einen Wertebereich von (\( \frac{-π}{2} \),\( \frac{π}{2} \)) hat. Hier kann man sehr einfach sehen, dass der Winkel \( \frac{π}{2} \) sein muss, weil wir uns auf der imaginären Achse im positiven Sinne befinden. Wenn du im zweiten Quadranten bist oder im dritten musst du dir zusätzliche Überlegungen machen.
Ich kann dir ja meine Verfahren versuchen kurz zu erklären.
Fall 1: Angenommen wir befinden uns im zweiten Quadranten. Beispielweise z= -2+2i. Ich denke der Betrag wird kein Problem sein zu berechnen, nämlich \( \sqrt{8} \). Wenn du das einzeichnest siehst du schnell, dass man einen Winkel von 135°=90°+45° hast bzw. im Bogenmaß φ=\( \frac{3π}{4} \). Hier konnte man das recht einfach ablesen. Aber du kannst es auch so berechnen. Du nimmst tan(φ1)=\( \frac{|Im(z)|}{|Re(z)|} \)=\( \frac{|-2|}{|2|} \)=1.Also teilst duch die Beträge von Imaginär- und Realteil. Daraus folgt φ1=\( \frac{π}{4} \). Wenn du im zweiten Quadranten bist, musst du jetzt noch φ1 mit \( \frac{π}{2} \) addieren also unsere Phase φ =φ1+ \( \frac{π}{2} \)= \( \frac{3π}{4} \). Also ist z=\( \sqrt{8} \)·ei·\( \frac{3π}{4} \)
Fall 2: Das gleiche Prinzip funktioniert auch im dritten Quadranten.
Ich mache es wieder mit Beispiel z=-2-2i .|z|= \( \sqrt{8} \).
Die Phase φ kann man wieder schnell sehen. Nämlich φ= \( \frac{5π}{4} \) .
Wir rechnen wieder tan(φ1)= \( \frac{|Im(z)|}{|Re(z)|} \)= \( \frac{|-2|}{|-2|} \)=1.
Daraus folgt φ1=\( \frac{π}{4} \). Beim dritten Quadranten muss man nun aber π dazu addieren, also φ= φ1+π=.\( \frac{5π}{4} \).
Kurz zusammengefasst. Im zweiten Quadranten Betrag von Im(z) durch den Betrag von Re(z) dividieren und die Phase \( \frac{π}{2} \) dazu addieren. Im dritten Quadranten genau das gleiche. Nur hier wird die Phase π hinzu addiert.
An den Koordinatenachsen kann man die Winkel eigentlich immer sehr einfach ablesen.
