Aufgabe:
Wir betrachten in den Fragen auf dieser Seite einen Kegelstumpf mit inhomogener Dichteverteilung in dimensionsbehafteten Größen (SI-Einheiten). Die Grundfläche des Kegelstumpfs hat den Radius r1=0,028 m und liegt in der xy-Ebene. Die obere Fläche liegt in einer Höhe h=0,025 m über der Grundfläche und hat einen Radius r2=0,01 m.$$\rho(\vec{r})=1,4\frac{kg}{cm^3}+1,8x\frac{kg}{cm^4}+0,8z^2\frac{kg}{cm^5}$$
Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts, den Schwerpunkt selbst und die Masse M.
Problem/Ansatz:
Zur Massenberechnung:
Soweit ich weiß ist die Masse ja grundsätzlich durch $$M=\int \limits_{V}\rho dV$$ gegeben. Weil es ein Kegelstumpf ist, habe ich die oben angegebene Massendichte Funktion in Zylinderkoordinaten umgerechnet. $$\rho(\vec{r})=1,4\frac{kg}{cm^3}+1,8rcos(\phi)\frac{kg}{cm^4}+0,8h^2\frac{kg}{cm^5}$$ Eine Gerade entlang des Mantels wäre: $$r_1+\frac{r_2-r_1}{h}$$Mein Ansatz wäre daher: $$\int \limits_{0}^{2\pi}(\int \limits_{0}^{h}(\int \limits_{0}^{r_1+\frac{r_2-r_1}{h}z}\rho(\vec{r})rdr)dz)d\phi$$ Wenn ich die oben genannten Werte einsetzte, kriege ich allerdings ein falsches Ergebnis raus.
Zu dem Schwerpunkt(und seinen Koordinaten):
Die Koordinaten des Richtungsvektors sind ja glaube ich durch: $$\begin{pmatrix} rcos\phi\\rsin\phi\\z \end{pmatrix}$$ gegeben. Um dann den Schwerpunkt zu berechnen muss ich den Richtungsvektor ja nur noch in die Gleichung: $$\vec{R}_S=\frac{1}{M}\int \limits_{V} \vec{r}\rho dV, \enspace dV= rdrd\phi dz$$einsetzten. Jedoch stimmt auch hier mein Ergebnis nicht. Könnte mir hierbei jemand bitte erklären wo mein Ansätze scheitern?
Mfg
