Aufgabe 1:
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
a) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\tan \sqrt{4 x}}{\sqrt{x}} \)
b) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{m}-1}{x^{n}-1} \quad(m, n \in \mathbb{N}) \)
c) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} e^{-x} \cdot|\cos x| \)
d) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x \cdot\left(x^{8}+1\right)} \)
e) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n} \)
f) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+q^{n}\right)^{1 / n} \quad(q>1) \)
Aufgabe 2:
a) Lösen Sie die folgende Gleichung. Schreiben Sie dazu zunächst die rechte Seite in Exponentialform.
\( z^{2}=1+i \cdot \sqrt{3} \)
b) Bestimmen Sie die vier komplexen Lösungen \( z_{b 1} \) bis \( z_{b 4} \) der Gleichung
\( z^{4}-2 z^{2}+4=0 \)
c) Diese vier Lösungen \( z_{b 1} \) bis \( z_{b 4} \) bilden in der Gaukschen Zahlenebene ein Rechteck. Welchen Umfang \( U \) und welchen Flächeninhalt \( F \) besitzt dieses Rechteck?
