Zeigen Sie: Es gibt ein x ∈ (a, b)

Question

Aufgabe:

Sei f : [a, b] → R differenzierbar und f´(a) < 0. Zeigen Sie: Es gibt ein x ∈ (a, b)
mit f(x) < f(a). Machen Sie zunächst eine Skizze

Problem/Ansatz:

Das mal zu zeigen. bin enttäuscht und werde mich auf eine Hilfe freuen!

Answer 1

Sei \(f : [a, b] → \mathbb{R}\) differenzierbar und \(f´(a) < 0\)

Angenommen \(f(x) \geq f(a)\) für alle \(x \in (a, b)\).

Dann ist

          \(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\geq 0\) für alle \(x \in (a, b)\),

und somit auch

    \(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\geq 0\) für alle \(x \in (a, b)\).

Das ist ein Widerspruch zu \(f'(a) < 0\).

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vielen vielen Dank!