Menge in komplexer Zahlenebene einzeichnen. Zahl ist ∈ ℝ

Question

Aufgabe:

Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der Komplexen Zahlenebene.

(b) \( B:=\left\{z \in \mathbb{C} \mid \frac{z}{1-\mathrm{i}} \in \mathbb{R}\right\} \)

Problem/Ansatz:

-->\( \frac{a+bi}{1-i} \)

--> komplex konjugiert erweitern : \( \frac{a+bi}{1-i} \) *\( \frac{1+i}{1+i} \)

--> Ergebnis: \( \frac{a+ai+bi-b}{2} \) bzw. \( \frac{(a-b)+(a+b)i}{2} \)

--> da \( \frac{z}{1-i} \) €R sein ist, habe ich den IM-Teil =0 gesetzt.

  \( \frac{(a+b)i}{2} \) , a+b=0 , a= -b

--> a=-b eingesetzt in Re-Teil : \( \frac{a-b}{2} \) --> \( \frac{-b-b}{2} \) -->\( \frac{-2b}{2} \)  --> gekürzt ergibt das -b als Ergebnis.

Problem:

Ist das richtig?

Wie zeichne ich  - b ein? Wäre das dan einfach die Re-Achse?

Answer 1

Wenn du statt a und b x und y nimmst, siehst du es schneller.

x+y=0 → y=-x

Das ist eine Geradengleichung.

:-)

Comments

ah, ja! so ist es besser.

Ich hatte einen großen Denkfehler. Mich hat verwirrt, dass ich die ganze Zeit eine Gaußsche Zahlenebene vor mir hatte. Deswegen war ich verwirrt, wie ich das Ergebnis deuteten soll. Weil eine Zahl ja ein Zusammenspiel von zwei Komponenten, nämlich Re- und Im-Teil ist. Wusste nicht wie ich sowas hätte einzeichnen können.

Aber ich behandele ja die Menge, die aus Reellen Zahlen besteht, und nicht die Zahl selber. So macht es jetzt auch Sinn für mich.

Sprich: Mit a=-b bzw. x=-y habe ich schon eine Menge gefunden, die die Bedingung erfüllt. Dass heißt ich hätte das nicht nochmal in den Realteil einsetzen müssen, wo ich dann wieder -b bzw. -y  raus hatte.

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Genau. Schön, dass du es verstanden hast.

Tipp:

Schreib immer z=x+yi statt z=a+bi.

☺