Question

Zeigen Sie: Durch drei Punkte auf \( \mathbb{R}^{2} \), die nicht auf einer Geraden liegen, geht genau ein Kreis. Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für diesen Kreis an. Was passiert, wenn die drei Punkte auf einer Geraden liegen?

Kann mir jemand zeigen, wie man so was zeigt?

Answer 1

A, B und C seien diese drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen.

Erstelle die Mittelsenkrechte der Strecke AB, mache es ebenso bei der Strecke BC.
Die beiden Mittelsenkrechten schneiden sich in M des Kreises. Die Strecke M A ist nun der Radius des gesuchten Kreises.
Im Falle, dass A B und C auf einer Geraden liegen, laufen die Mittelsenkrechten parallel zueinander und schneiden sich somit nicht.

Answer 2

Hallo,

Wenn man voraus setzen kann, dass die Mittelpunkte aller Kreise, die durch zwei gegebenen Punkte gehen, alle auf der Mittelsenkrechten der Strecke zwischen diesen beiden Punkten liegen, dann geht das so:

Man unterteile die drei Punkte in zwei ungleiche Paare. D.h. jedes der Punktepaare enthält einen Punkt, der nicht im anderen Paar enthalten ist. Die beiden Geraden durch ein Punktepaar sind sicher verschieden, da die drei Punkte nicht auf einer Gearden liegen. Also haben die beiden Geraden einen Winkel \(\ne 0°\) zueinander und somit haben auch die Mittelsenkrechten der Strecken, die durch die Punktepaare definiert sind, einen Winkel \(\ne 0°\) zueinander.

Daraus folgt, dass sich die Mittelsenkrechten schneiden. Und zwei Geraden schneiden sich in genau einem Punkt. Und dieser Punkt ist der einzige Punkt, der Mittelpunkt eines Kreises sein kann, der durch alle drei Kreise geht.

Was passiert, wenn die drei Punkte auf einer Geraden liegen?

dann sind die Mittelsenkrechten parallel und schneiden sich daher nicht. Also gibt es auch keinen Kreis, der durch alle drei Punkte verläuft.

Gruß Werner

Comments

Könntest du mir bitte bei meiner neusten Frage helfen.

Es geht um die Berechnung einer Fläche zwischen zwei Funktionen.

Danke.

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Und auch bei einer älteren Frage(https://www.mathelounge.de/856836/verhalten-im-unendlichen-aufgaben#a856838) , wo die Antwort noch offen ist? \(\lim\limits_{x\to\infty}\int \limits_{1}^{x}x^{a}dx = \frac{x^{a+1}}{x+1}\)