Wie kann man die Eigenwerte von A bestimmen ohne A zu bestimmen?

Question

Aufgabe:

Sei A eine symmetrische Matrix 3x3 und

A \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \) =  \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \)

A \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) =  \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

A \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} \) =  \( \begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix} \)
Problem/Ansatz:

Wie kann man die Eigenwerte von A bestimmen ohne A zu bestimmen?

Danke sehr :)

Answer 1

Hallo :-)

Eigenvektoren eines Endomorphismus werden skalliert. Hier passiert das durch eine Matrix \(A\). Suche also ein Skalar zu jedem Eigenvektor, sodass die obigen drei Gleichheiten erfüllt sind.

Answer 2

Aloha :)

Die Eigenwertgleichung lautet:$$\mathbf A\cdot\vec v=\lambda\cdot\vec v\quad;\quad\vec v\ne0$$

Wenn du die drei Gleichungen etwas umschreibst, kannst du die Eigenwerte direkt ablesen:

$$\mathbf A\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\boxed{1}\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$$$$\mathbf A\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\boxed{0}\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$$$\mathbf A\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=\boxed{(-1)}\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$$