Ebene Dreieck mit Eckpunkten berechnen

Question

! Weiß jemand die antwort auf diese aufgabe?

Es wäre mega nett, wenn jemand es senden könnte. Ich check es nicht und muss sie können für mein test

Text erkannt:

1. Aufgabe (5 Punkte) Es sei \( D \) das ebene Dreieck mit den Eckpunkten \( (-2,0),(0,2) \) und \( (1,-3) \). Berechnen Sie
$$ \iint_{D}(x-1) d x d y $$

Answer 1

Hallo,

es gibt verschiedene Wege. Zunächst musst Du Dir das Dreieck skizzieren. Dann zerlegst Du es in die Teildreiecke:

1. Dreieck (-2,0),(0,-2),(0,2). Für Punkte innerhalb dieses Dreiecks gilt:

$$-2 \leq x \leq 0 \text{  und } -(x+2)\leq y \leq x+2$$

Für dieses Teil-Dreieck ist der Beitrag zum Integral:

$$\int_{-2}^0\left( \int_{-(x+2)}^{x+2} (x-1) \;dy \right) dx$$

2. Dreieck (0,-2),(1,-3),(0,2) Für Punkte innerhalb dieses Dreiecks gilt:

$$0 \leq x \leq 1 \text{  und } -(x+2)\leq y \leq 2-5x$$
Für dieses Teil-Dreieck ist der Beitrag zum Integral:
$$\int_{0}^1\left( \int_{-(x+2)}^{2-5x} (x-1) \;dy \right) dx$$

Du musst noch beide Integrale ausrechnen und die Ergebnisse addieren.

Gruß Mathhilf

Comments

hä aber woher kommt der Punkt (0, -2)?

Ich checks irgendwie nicht so ganz

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Also deine erklärung und anweisungen verstehe ich so halbwegs aber wollte nur wissen wie du diese Schritte gemacht hast.

Ich muss es halt echt gut verstehen und können

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es gibt verschiedene Wege. Zunächst musst Du Dir das Dreieck skizzieren. Dann zerlegst Du es in die Teildreiecke:

hä aber woher kommt der Punkt (0, -2)?
Ich checks irgendwie nicht so ganz

Irgendein Bauchgefühl sagt mir gerade, du hast nicht mal probiert das zu skizzieren. .

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Du hast recht haha ich bin grade aufgestanden und bin direkt auf deine Antwort on gekommen, aber hatte es nicht ganz gecheckt. Aber jtzt verstehe ich es besser! Ich sollte echt nicht direkt nach dem ich aufgestanden bin Mathe machen haha.

Danke dir!

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Vor allem sollte man sich zuerst richtig durchlesen, was man machen soll.

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Ich verstehe nicht ganz wie Sie auf

1. Dreieck (-2,0),(0,-2),(0,2). Für Punkte innerhalb dieses Dreiecks gilt…

Und auf

2. Dreieck (0,-2),(1,-3),(0,2) Für Punkte innerhalb dieses Dreiecks gilt…

gekommen sind. Obwohl ich das Dreieck mir gezeichnet habe.

Also mein Problem ist, ich verstehe nicht wie sie die Grenze des Integrals bestimmt haben

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ich verstehe nicht wie sie die Grenze des Integrals bestimmt haben

In folgender Szene findest Du den Körper skizziert, dessen 'Volumen' mittels des Integrals berechnet werden soll. Mit Hilfe des Integrierens (was ein Summieren ist) ist hier zunächst von \(-x\) bis \(+x\) integriert worden. In X-Richtung liegt der Körper im Intervall \(x\in[-2\dots 1]\).

Die Grenzen (in Y-Richtung) sind durch die Seiten des Dreiecks definiert. Die unterer Grenze (unten: im Sinne von minus Y) ist die Seite von \(A\) bis \(B\) und die obere Grenze hat einen 'Knick' beim Punkt \(C(0|\,2)\). (s. Szene; klick auf das Bild!)

Und dieser 'Knick' ist der Grund warum zunächst in X-Richtung nur von \(x\in[-2\dots 0)\) mit der oberen Grenze \((x+2)\) und mit einem zweiten Integral von \(x\in[0\dots1]\) mit der oberen Grenze \((2-5x)\) summiert wurde.

Die Trennebene zwischen den Integralen habe ich in der Szene rot dargestellt.

mein Ingenieursdaumen sagt, dass das Ergebnis \(V=-8\) ist (ohne Gewähr und ohne zu integrieren!).