∫∫ f(x,y)dxdy Kurvenintegrale, mehrdimensionale Integration

Question

Aufgabe: Es sei f: R^2 -> R^1, (x,y) → y*cos(x ² ) und B:= (x.y)∈R² I 0≤y≤1,y² ≤ x ≤1 )

Problem/Ansatz: Skizzieren Sie B und berechnen Sie den Flächeninhalt von B.

                          Berechnen Sie ∫∫ f(x,y)dxdy. Mit dem Satz zum Vertauschen der Integrationsreihenfolge.

Comments

Zu a) den Flächeninhalt berechnet ∫∫ 1 dx dy Grenzen sind ja durch B gegeben, für x: Untere Grenze:y² obere Grenze:1 und für y lautet die untere Grenze 0 und oben 1. Zweimal integrieren kommt der Flächeninhalt raus. Zur Kontrolle: \( \frac{2}{3} \)

Zu b) du musst die Grenzen vertauschen sprich man hat x als Parameter da man zuerst nach y integriert und dann nach x.

Erste Integration nach: zur Kontrolle: \( \frac{x cos(x)^{2}}{2} \)

Zweite Integration brauch man Substitution, es sollte \( \frac{sin(1)}{4} \) rauskommen.

Answer 1

Aloha :)

Das integrationsgebiet \(B\) ist die Punktmenge unterhalb der Wurzelfunktion:

~plot~ sqrt(x) ; 1*(x<=1) ; [[0|1,1|0|1,1]] ~plot~

In der Vorgabe ist diese Punktmenge parametrisiert durch:$$y\in[0;1]\quad\land\quad x\in[y^2;1]$$Zur Integration können wir die Parametrisierung umschreiben:$$x\in[0;1]\quad\land\quad y\in[0;\sqrt x]$$Damit lautet das Integral:

$$I=\iint\limits_By\cos(x^2)\,dx\,dy=\int\limits_{x=0}^1\int\limits_{y=0}^{\sqrt x}y\cos(x^2)\,dy\,dx=\int\limits_0^1\left[\frac{y^2}2\cos(x^2)\right]_{y=0}^{\sqrt x}dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1\frac{x}{2}\cos(x^2)dx=\frac{1}{4}\int\limits_0^1\cos(x^2)\,2x\,dx=\frac{1}{4}\int\limits_0^1\cos(x^2)\,d(x^2)=\frac{1}{4}\left[\sin(x^2)\right]_0^1$$$$\phantom{I}=\frac{\sin(1)}{4}$$