Doppelintegral ∫∫(xy)/(x^2+y^2) dx dy

Question

Sei f: ℝ²→ℝ gegeben durch

f(x,y)=(xy)/(x²+y²), (x,y)≠0 und f(0,0)=0.

Dann ist ∫∫f(x,y)dx dy =0.

Ich habe als erstes f umgeformt, indem ich x und y in Polarkoordinaten geschrieben habe. Es ist

x= r* cos (a) , y= r* sin(a).

Dann ist f(r*cos(a), r*sin(a))= cos(a)* sin(a).

Doch wie rechne ich denn jetzt das Doppelintegral ∫∫f(x,y)dx dy  aus und zeige, dass dieses den Wert null hat?

Answer 1

Meine Berechnung:

Comments

Wenn ich das so mache, wie du erhalte ich aber nicht 0 für das Integral wenn ich über R integriere, weil

1/2 ∫y ln(x2+y2)=1/4(ln(x²+y²)*(x²+y²)-(x²+y²))

oder?

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Ich hatte nur das Integral berechnet, Du hattest ja die Orginalaufgabe nicht geschrieben.

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Also ich muss zeigen, dass

∫∫f(x,y)dx dy =0=∫∫f(x,y)dy dx

wobei die Integrale über ℝ sind

Answer 2

Hallo Sternchen,

f(r*cos(a), r*sin(a))= cos(a)* sin(a).

mit  dx dy =  r dr da   hast du dann

∫ ∫  cos(a) sin(a) r dr da  =  ∫ ( cos(a) sin(a) ∫ r dr ) da = ∫  cos(a) sin(a) r² / 2  da

                                        =  r² /2 · ∫ cos(a) sin(a) da = r² /2  · sin²(a)/2

                                        =  r² / 4 · sin²(a)  [ + c ] 

Ob das  Integral den Wert 0 hat, hängt von den Grenzen für a  und r ab.

Gruß Wolfgang

Answer 3

xy/(x^2+y^2)

=sin(phi)COS(phi)

=1/2sin(2phi)

Du hast keine Integrationsgrenzen angegeben. Daher gehe ich mal davon aus, dass du über R^2 integriert.

dxdy=rdrdphi

∫∫f(x,y)dx dy =0.

Das ist dann falsch. Das Integral divergiert. Betrachte z.B das Integral aus der Summe der Integrale mit y>=0 und y <0.

Das eine Integral gibt +oo und das andere -oo als Ergebnis. Und oo-oo ist nicht definiert.

Aber du kannst den Cauchy-Haupwert berechnen, der ist 0.

Denn in Polarkoordinaten ist

Integral (0 bis 2pi) 1/2 sin(2phi)dphi

=0

unabhängig von der r Integration.

Das passt auch zur Symmetrie von f(x,y) denn es gilt f(-x,-y)=-f(x,y)

Comments

Wie berechnet man denn das allgemein? Und ja ich integriere über ℝ.

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So ich bin es nochmal. Ich habe immer noch keine Antwort erhalten wie ich die Aussage

∫∫f(x,y)dx dy =0=∫∫f(x,y)dy dx

wobei die Integrale über ℝ sind

zeige und habe jetzt drei unterschiedliche Antworten und bin deshalb ein bisschen verwirrt. Kann mir vielleicht nochmal jemand sagen, wie ich die Aufgabe richtig löse und ob mein Ansatz mit den Polarkoordinaten stimmt oder ob man das nicht braucht

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Ich habe oben in Polarkoordinaten gerechnet. Das kannst du auch machen. Aber die Aussage

∫∫f(x,y)dx dy =0=∫∫f(x,y)dy dx

ist eben falsch. Das habe ich auch bereits oben in meiner Antwort geschrieben.

Man kann auch ohne Polarkoordinaten rechnen und sieht,

das alleine das erste Integral

∫(-oo bis oo) x/(x^2 +y^2)dx

nicht konvergiert.

Lediglich der Cauchy-Hauptwert ist 0.

Weißt du, wie man  uneigentliche Integrale berechnet?

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Ok danke, kann es sein, dass du dich verschrieben hast? Weil ich soll folgendes Integral berechnen

∫xy/(x²+y²) dx dy

und in deinem letzten Kommentar fehlt das y im Zähler. Aber da hast du dich bestimmt vertippt weil der Rest müsste trotzdem stimmen.

Ich erhalte als Ergebis des Integrals doch dann 1/4(ln(x²+y²)*(x²+y²)-(x²+y²)) mit den Grenzen ∞ und -∞. Dann setzt man das ein mit limes und erhält doch dann ∞-(-∞ )=∞ als Lösung

oder?

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Neee, ich hab das y nicht vergessen.

Es ist

∫∫xy/(x^2+y^2) dx dy

=∫dy (y∫x/(x^2+y^2) dx )

mit jeweils Grenzen oo und -oo.

Und ich hab erstmal das innere Integral berechnet.Wenn du das Formal rechnen willst, dann bilde die Stammfunktion

und rechne

lim a---> oo  ∫(0 bis a)x/(x^2+y^2) dx

+lim b --->-oo ∫(b bis 0)x/(x^2+y^2) dx

=oo-oo → unbestimmter Ausdruck

Also existiert das Integral nicht .

Hier kann man dann schon nicht mehr weiterrechnen. Und wenn man zuerst das y Integral berechnet ergibt sich dasselbe, weil die Funktion symmetrisch in x und y ist.

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Okay danke jetzt habe ich das so verstanden