Hallo. Ich habe hier folgende DGL 2. Ordnung: y''+2y'-3y=2 sin(x)
Die Charakteristische Gleichung und die Lösung der homogenen DGL habe ich soweit hinbekommen.
Auch bei der partikulären Lösung habe ich soweit den Ansatz.
Nur habe ich nach dem E'insetzen in die DGL bei dem Koeffizientenvergleich Schwierigkeiten:
Ich weiß nicht wie man einen Koeffizientenvergleich mit 2 Koeffizienten A und B macht...
Kann mir da jemand bitte das Vorgehen erklären ab dem letzten Schritt in meiner Lösung vor dem Koeffizientenvergleich?
Die Lösung ist vom Dozenten. Danke
Text erkannt:
Charakteristische Gleichung: \( \lambda^{2}+2 \lambda-3=0 \rightarrow \lambda_{1}=1 ; \lambda_{2}=-3 \)
Lösung der homogenen DGL: \( \mathrm{y}_{\mathrm{h}}(\mathrm{x})=\mathrm{C}_{1} \mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{C}_{2} \mathrm{e}^{-3 \mathrm{x}} \)
Partikulärer Ansatz: \( \mathrm{y}_{\mathrm{p}}=\mathrm{A} * \sin (\mathrm{x})+\mathrm{B} * \cos (\mathrm{x}) ; \mathrm{y}_{\mathrm{p}}^{\prime}=-\mathrm{B} * \sin (\mathrm{x})+\mathrm{A} * \cos (\mathrm{x}) \)
$$ y_{p}^{\prime \prime}=-A * \sin (x)-B * \cos (x) $$
Einsetzen in DGL:
\( -\mathrm{A} * \sin (\mathrm{x})-\mathrm{B} * \cos (\mathrm{x})-2 \mathrm{~B} * \sin (\mathrm{x})+2 \mathrm{~A} * \cos (\mathrm{x})-3 \mathrm{~A} * \sin (\mathrm{x})-3 \mathrm{~B} * \cos (\mathrm{x})=2 \sin (\mathrm{x}) \)
\( (-4 A-2 B) * \sin (x)+(2 A-4 B) * \cos (x)=2 \sin (x) \)
Koeffizientenvergleich: \( \mathrm{A}=-\frac{2}{5} ; \mathrm{B}=-\frac{1}{5} \rightarrow \) Partikuläre Lösung der DGL: \( \mathrm{y}_{\mathrm{p}}(\mathrm{x}) \)
$$ =-\frac{2}{5} \sin (\mathrm{x})-\frac{1}{5} \cos (\mathrm{x}) \mid $$
