Aufgabe:
ich habe folgende Aufgabe gerechnet...
$$y ^ { \prime \prime } - 7 y ^ { \prime } + 6 y = \operatorname { sin } ( x )$$
$$\left. \begin{array} { l } { y = e ^ { \lambda x } } \\ { y ^ { \prime } = \lambda \cdot e ^ { \lambda x } } \\ { y ^ { \prime \prime } = \lambda ^ { 2 } \cdot e ^ { \lambda } } \end{array} \right.$$
Daraus folgt ja dann das charakteristische Polynom:
$$\lambda ^ { 2 } - 7 \lambda + 6 = 0$$
und die NS bzw. die homogene Lösung:
$$\left. \begin{array} { l l } { \lambda _ { 1 } = 6 } & { \rightarrow y _ { 1 } = c _ { 1 } \cdot e ^ { 6 x } } \\ { \lambda _ { 2 } = 1 } & { \rightarrow y _ { 2 } = c _ { 2 } \cdot e ^ { x } } \\ { y _ { h } = c _ { 1 } \cdot e ^ { 6 x } + c _ { 2 } \cdot e ^ { x } } \end{array} \right.$$
Problem/Ansatz:
Beim Ausrechnen der partikulären Lösung habe ich nun folgenden Ansatz gewählt:
$$\left. \begin{array} { l } { y _ { p } ( x ) = A \operatorname { sin } ( x ) + B \operatorname { cos } ( x ) } \\ { y _ { p } ^ { \prime } ( x ) = A \operatorname { cos } ( x ) - B \operatorname { sin } ( x ) } \\ { y p ^ { \prime \prime } ( x ) = - A \operatorname { sin } ( x ) - B \operatorname { cos } ( x ) } \end{array} \right.$$
Einsetzen in die DGL liefert mir dann jedoch eine falsche Lösung. Ist der Ansatz falsch oder habe ich irgendwo einen Rechenfehler?
$$\left. \begin{array} { l } { - A \operatorname { sin } ( x ) - B \operatorname { cos } ( x ) - 7 ( A \operatorname { cos } ( x ) - B \operatorname { sin } ( x ) ) + 6 ( A \operatorname { sin } ( x ) + B \operatorname { cos } ( x ) ) } \\ { = \operatorname { sin } ( x ) } \\ { - A \operatorname { sin } ( x ) - B \operatorname { cos } ( x ) - 7 A \operatorname { cos } ( x ) + 7 B \operatorname { sin } ( x ) + 6 A \operatorname { sin } ( x ) + 6 B \operatorname { sin } ( x ) = \operatorname { sin } k x } \\ { \operatorname { sin } ( x ) ( 5 A + 13 B ) + \operatorname { cos } ( x ) ( - 7 A - B ) = 1 \operatorname { sin } ( x ) + 0 \operatorname { cos } ( x ) } \end{array} \right.$$
$$\left. \begin{array} { l } { 5 A + 13 B = 1 } \\ { A = \frac { 1 } { 5 } - \frac { 13 } { 5 } B } \\ { - 7 ( \frac { 1 } { 5 } - \frac { 13 } { 5 } B ) - B = 0 } \\ { - \frac { 7 } { 5 } + \frac { 91 } { 5 } B - B = 0 } \\ { \frac { 8 G } { 5 } B = \frac { 7 } { 5 } } \\ { B = } \end{array} \right.$$
Das Endergebnis ist dann falsch...
