Bernoullische Differentialgleichung mit Anfangswertprobleme

Question

Text erkannt:

Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme jeweils auf einem geeigneten Intervall:
(i) \( y^{\prime}(x)=\frac{y(x)}{x}+\frac{x}{y(x)}, \quad y(1)=1 \),

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo,

z=y/x

y=z*x

y' = z+z'x

->Einsetzen in die DGL:

z+z'x=z +1/z | -z

z'x=1/z | ->Trennung der Variablen

dz/dx *x =1/z

z dz = dx/x

z^2/2 = ln|x|+c

z= ± √(2(ln|x|+C)

Resubstitution : z=y/x

y/x=  ± √(2(ln|x|+C)

y=  ± x √(2(ln|x|+C)

AWB in die Lösung einsetzen

->neg-Lösung entfällt

--->

y=  x √(2(ln|x|+C)

1=  √(2(ln|1|+C)

1=  √(2C

1= 2C ->C=1/2

------>

y=  x √(2(ln|x|+1/2)

y=  x √(2ln|x|+1)