Aloha :)
Löse zunächst die homogene DGL:
$$\left.xy'_0(x)+y_0(x)=0\quad\right|-y_0(x)$$$$\left.xy'_0(x)=-y_0(x)\quad\right|\colon y_0(x)$$$$\left.x\,\frac{y'_0(x)}{y(x)}=-1\quad\right|\colon x$$$$\left.\frac{y'_0(x)}{y(x)}=-\frac1x\quad\right|\text{integrieren}$$$$\left.\ln|y_0(x)|=-\ln x+\text{const}\quad\right|e^{\cdots}$$$$y_0(x)=e^{-\ln x}\cdot e^{\text{const}}=\frac{\text{const}}{x}$$
Für die inhomogne Lösung variieren wir nun die Konstante und nennen sie \(c(x)\).$$\text{Ansatz:}\quad y(x)=\frac{c(x)}{x}\quad\implies\quad y'(x)=\frac{c'(x)\cdot x-c(x)}{x^2}$$Das setzen wir in die inhomogene DGL ein:
$$\left.xy'(x)+y(x)=x^2+1\quad\right|\text{einsetzen}$$$$\left.\frac{c'(x)\cdot x-c(x)}{x}+\frac{c(x)}{x}=x^2+1\quad\right|\text{links vereinfachen}$$$$\left.c'(x)=x^2+1\quad\right|\text{integrieren}$$$$\left.c(x)=\frac{x^3}{3}+x+\text{const}\quad\right.$$Damit lautet die gesuchte Lösung:$$y(x)=\frac{c(x)}{x}=\frac{x^2}{3}+1+\frac{\text{const}}{x}$$
Die Integrationskonstante für Teil (c) folgt dann so:$$0=y(3)=\frac{9}{3}+1+\frac{\text{const}}{3}\quad\implies\quad\text{const}=-12$$und die Lösung für die besondere Anfangsbedingung ist:$$y(x)=\frac{x^2}{3}+1-\frac{12}{x}$$
