Suche Ableitung von f(x)=(x-1)^(1/3)

Question

ich suche die Ableitung dieser Funktion:

$$f(x)=(x-1)^{\frac{1}{3}}$$

Welche Regel muss ich hier anwenden?

Comments

Du kannst die Potenzregel anwenden, die Translation in der Basis bleibt dabei erhalten. (Anders betrachtet ist das ein Spezialfall der Kettenregel, der in der Schule aber gerne mal vor der Kettenregel behandelt wird.)

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So ist es mit der Potenzregel:

$$f´(x)=\frac{1}{3}*(x-1)^{\frac{1}{3}}$$

Kettenregel:

\( f(x)=u(v(x)) \)
\( f^{\prime}(x)=u^{\prime}(v(x)) \cdot v^{\prime}(x) \)

\( v(x)=x-1 \)

\( v´(x)=x \)

\( u=(...)^{\frac{1}{3}} \)

Was wäre die Ableitung von u?

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$$f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (x-1)^{\frac{1}{3}-1}$$ wäre richtig gewesen.

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Kettenregel:
\( f(x)=u(v(x)) \)
\( f^{\prime}(x)=u^{\prime}(v(x)) \cdot v^{\prime}(x) \)

\( v(x)=x-1 \)
\( v´(x)=x \)
\( u=(...)^{\frac{1}{3}} \)
Was wäre die Ableitung von u?

$$v'(x)=1$$ wäre hier richtig gewesen.

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Stimmt. Habe die -1 im Exponenten vergessen. Wie kann ich das mit der Kettenregel lösen?

Das mit v(x) und v´(x) bekomme ich hin. Aber was ist die Ableitung von von u? Da u ja nur das äußere ist, also die hoch 1/3.

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In deiner Schreibweise:

$$u(v) = v^{\frac{1}{3}} $$$$u'(v) = v^{\frac{1}{3}-1} = v^{-\frac{2}{3}} $$

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\( v(x)=x-1\\[10pt]v´(x)=1\\[10pt]u(x)=(...)^{\frac{1}{3}}\\[10pt]u´(x)=(...)^{-\frac{2}{3}}\\[10pt] f´(x)= (x-1)^{-\frac{2}{3}}*1 \)

Bei mir fehlt die mal 1/3. Oder muss ich Kettenregel und Potenzregel verknüpfen. (Also geht es gar nicht mit der Kettenregel allein?)

Moment...

So ist es richtig oder?:

$$u´(x)=\frac{1}{3}(...)^{-\frac{2}{3}}\\[10pt]$$

Wir leiten u ja mit der Potenzregel ab und haben dann auch die 1/3, welche bei meiner Funktion f´(x) fehlen.

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Ja, so ist es.

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Danke Gast az0815!

Answer 1

Kettenregel:

---> 1/3*(x-1)^(-2/3)* 1= 1/(3*(x-1)^(2/3))