Aloha :)
Die Eigenwertgleichung lautet ja:$$\mathbf A\cdot\vec x=\lambda\cdot\vec x\quad;\quad \vec x\ne\vec 0$$Wichtig ist, dass der Eigenvektor \(\vec x\) zum Eigenwert \(\lambda\) nicht der Nullvektor sein darf. Diese Gleichung kannst du umstellen:$$\mathbf A\cdot\vec x-\lambda\cdot\vec x=\vec 0\implies\mathbf A\cdot\vec x-\lambda\cdot\mathbf 1\cdot\vec x=\vec 0\implies\left(\mathbf A-\lambda\cdot\mathbf 1\right)\cdot\vec x=\vec 0$$Das Gleichungssystem hat nur dann eine Lösung \(\vec x\ne0\), wenn die Determinante der Klammer verschwindet:$$\operatorname{det}\left(\mathbf A-\lambda\cdot\mathbf 1\right)=0$$Daher sind die Eigenwerte die Nullstellen dieser Determinante.
$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrrr}4-\lambda & -3 & -1 & 6\\6 & 1-\lambda & -3 & 2\\2 & -3 & 1-\lambda & 6\\6 & -1 & -3 & 4-\lambda\end{array}\right|$$
Wir brauchen zur einfachen Berechnung möglichst viele Nullen in einer Reihe. Daher addieren wir das Doppelte der dritten Spalte zur ersten Spalte. Anschließend ziehen wir aus der neuen ersten Spalte den Faktor \((2-\lambda)\) vor die Determinante.$$0=\left|\begin{array}{rrrr}2-\lambda & -3 & -1 & 6\\0 & 1-\lambda & -3 & 2\\4-2\lambda & -3 & 1-\lambda & 6\\0 & -1 & -3 & 4-\lambda\end{array}\right|=(2-\lambda)\left|\begin{array}{rrrr}1& -3 & -1 & 6\\0 & 1-\lambda & -3 & 2\\2 & -3 & 1-\lambda & 6\\0 & -1 & -3 & 4-\lambda\end{array}\right|$$
Wir subtrahieren das Doppelte der ersten Zeile von der dritten Zeile und entwickeln anschließend die Determinante nach der ersten Spalte:$$0=(2-\lambda)\left|\begin{array}{rrrr}1& -3 & -1 & 6\\0 & 1-\lambda & -3 & 2\\0 & 3 & 3-\lambda & -6\\0 & -1 & -3 & 4-\lambda\end{array}\right|=(2-\lambda)\left|\begin{array}{rrrr}1-\lambda & -3 & 2\\3 & 3-\lambda & -6\\-1 & -3 & 4-\lambda\end{array}\right|$$
Wir addieren die Spalten 1 und 2 zur Spalte 3 und ziehen anschließend den Faktor \((-\lambda)\) aus der dritten Spalte vor die Determinante$$0=(2-\lambda)\left|\begin{array}{rrrr}1-\lambda & -3 & -\lambda\\3 & 3-\lambda & -\lambda\\-1 & -3 & -\lambda\end{array}\right|=-\lambda(2-\lambda)\left|\begin{array}{rrrr}1-\lambda & -3 & 1\\3 & 3-\lambda & 1\\-1 & -3 & 1\end{array}\right|$$
Wir subtrahieren Zeile 3 von Zeile 1 und Zeile 2. Anschließend haben wir eine Dreieck-Matrix, deren Determinante einfach das Produkt der Hauptdiagonalen ist:$$0=-\lambda(2-\lambda)\left|\begin{array}{rrrr}2-\lambda & 0 & 0\\4 & 6-\lambda & 0\\-1 & -3 & 1\end{array}\right|=-\lambda(2-\lambda)^2(6-\lambda)$$
Damit haben wir 3 Eigenwerte gefunden: \(\quad\lambda_1=0\quad;\quad\lambda_2=2\quad;\quad\lambda_3=6\)
