Taylorreihen und Fourierreihen

Question

Aufgabe:

Entwickeln Sie die Funktion \( f(x)=\frac{1}{x^{2}} \) bei \( x_{0}=1 \) in eine Tayloreihe und bestimmen Sie den Konvergenzbereich.

Hinweis: Sie können die Taylorreihe mithilfe der ersten 4 Reihenglieder angeben. Verwenden Sie die in der Lösung angegebene allgemeine Form der Potenzreihe, um den Konvergenzbereich zu bestimmen.

Answer 1

Hallo,

y=1/x^2  ,y(1)= 1

y'=(-2)/x^3 ,y'(1)= -2

y'' =6/x^4 ,y''(1) = 6

y''' = (-24)/x^5 ,y'''(1)=-24

y''''=120/x^6, y''''(1) 120

allgemein Formel für Taylorreihe:

y=\( T_{n} f(x ; a)=\frac{f(a)}{0 !}+\frac{f^{(1)}(a)}{1 !} \cdot(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2 !} \cdot(x-a)^{2}+\frac{f^{(3)}(a)}{3 !} \cdot(x-a)^{3} \ldots \)

y=\( 1-2(x-1)+3(x-1)^{2}-4(x-1)^{3} \)

Comments

Hi

danke erstmal .

Konvergenzbereich (0,2)

und die Antwort muss 1/x hoch 2 = summe (-1)hoch k .(k+1) .(x-1)hoch k sein.

Lg

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wie hast du denn es berechnet ?

leider es war schwer und nicht einfach

lg

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hallo jemand da

Answer 2

Hallo

die ersten 4 Ableitungen an der Stelle 1 wirst du doch wohl können? dann in die Formel für Taylorpolyom einsetzen.

Gruß lul

Comments

wie meinst du

soll ich 4 Ableitungen ?

lg

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das war richtig ich habe jetzt so etwas auch bekommen.

endlich hahah.

Danke sehr

aber es bleibt bestimmen Sie den Konvergenzbereich

könntest du auch vielleicht helfen.

Konvergenzbereich (0,2) muss so sein

LG

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hallo

das ist eine alternierende Reihe, sie konvergiert, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden, (n+1)*(x-1)^n bildet nur eine Nullfolge wenn  |x-1|<1

lul