Fourierkoeffizienten von FourierReihen vergleichen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Wenn \( f(t), t \in[-\pi, \pi] \), die Fourierkoeffizienten \( a_{k}, b_{k} \) hat, und \( g(t) \), \( t \in[-\pi, \pi] \), die Fourierkoeffizienten \( c_{k}, d_{k} \), so hat \( f(t)+g(t) \) die Fourierkoeffizienten \( a_{k}+c_{k}, b_{k}+d_{k} \).

Für g(t) habe ich mir \( t^{2} \) ausgesucht. Müsste ich jetzt noch einmal die Fourierreihe \( t^{2} \) + t ausrechnen oder gibt es einen einfacheren Weg?

\( t^{2} \rightarrow \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{2 t}{k^{2}} \cdot(-1)^{k} \cdot \cos (k t)\left(a_{k}\right) \)

\( t \rightarrow \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k} \cdot \sin (2 k t)\left(b_{k}\right) \)

Answer 1

Die Fourierkoeffizienten einer 2pi periodischen Funktion f(t) sind folgendermassen definiert:

\( a_{k} =  \frac{1}{π} \int\limits_{-π}^{+π} f(t)cos(kt) dt \) für k ={0,1,2,3... }
\( b_{k} =  \frac{1}{π} \int\limits_{-π}^{+π} f(t)sin(kt) dt \) für k ={1,2,3... }

Gleiches gilt für g(t) mit den Koeffizienten \( c_{k} \) und \( d_{k} \). Für f(t)+g(t) gilt dann

\( e_{k} =  \frac{1}{π} \int\limits_{-π}^{+π} (f(t)+g(t))cos(kt) dt \)

\( e_{k} =  \frac{1}{π} \int\limits_{-π}^{+π} f(t)cos(kt) dt + \frac{1}{π} \int\limits_{-π}^{+π} g(t)cos(kt) dt = a_{k} + c_{k}\)

\( f_{k} =  \frac{1}{π} \int\limits_{-π}^{+π} (f(t)+g(t))sin(kt) dt \)

\( f_{k} =  \frac{1}{π} \int\limits_{-π}^{+π} f(t)sin(kt) dt + \frac{1}{π} \int\limits_{-π}^{+π} g(t)sin(kt) dt = b_{k} + d_{k}\)