Aufgabe: Ich möchte die komplexe Fourierreihe der 2π - periodischen Funktion
$$s(t) =\frac{\pi-t}{2}$$ für $$t\in[0,2\pi)$$
aufstellen, um eine lineare DGL zu lösen.
Problem/Ansatz:
Im ersten Schritt möchte ich den komplexen Fourierkoeffizienten
$$ d_k=\frac{1}{T}\int \limits_{-T/2}^{T/2}\frac{\pi - t}{2}e^{-ik\frac{2\pi}{T}t}dt $$
bestimmen. Für T = 2π muss ich also das Integral
$$ d_k=\frac{1}{2\pi}\int \limits_{-\pi}^{\pi}\frac{\pi - t}{2}e^{-ikt}dt $$
lösen. Ein Integralrechner gibt mir folgendes Ergebnis aus:
$$ \frac{(\pi k+i)\sin(\pi k)-i\pi k\cos(\pi k)}{2\pi k^{2}} $$
Mein sin ist immer null, da das Argument nur Vielfache von pi enthält. Der cos alterniert zwischen -1 und 1, das heißt das Ergebnis lässt sich zusammenfassen zu:
$$ -(-1)^k\frac{i}{2k} $$
Meine Lösungen sagen mir jedoch was anderes. Die Lösung besagt einfach, dass die Reihenentwicklung von s(t) wie folgt aussieht:
$$ \sum \limits_{k\in\mathbb{Z}\backslash \{0\}} \frac{e^{ikt}}{2ik} $$
Kann jemand vielleicht sagen wieso man (-1)^k vernachlässigen kann? Wo ist mein Denkfehler? leider habe ich online kein richtiges Tool gefunden was mir einfach komplexe Fourierkoeffizienten zu einer Funktion ausgeben kann, sodass ich auch nicht überprüfen kann, ob die Lösung ggf. falsch ist. Ich danke im voraus!
