Fourierkoeffizienten und Bedingungen für Stammfunktionen

Question

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Ich habe ein paar Fragen zu Fourierreihen bzw. ihrer Koeffizienten:

Ich habe eine \(2π\) -periodische, stetige Funktion gegeben, für die \(a_{n}\) und \(b_{n}\) die Fourierkoeffizienten sind.

1. Welche Bedingung muss die Funktion erfüllen, damit auch die Stammfunktion \(2π\) -periodisch ist?

2. Wenn die Stammfunktion dann \(2π\) -periodisch ist, sind \(A_{n}\) und \(B_{n}\) ihre Fourierkoeffizienten. Wie kann ich diese mithilfe der Fourierkoeffizienten der Original-Funktion angeben?

3. Abschließend soll noch eine Näherung für das Integral \(I = \int \limits_{0}^{\frac{7}{2} \pi} f(x) dx\) mit den Ergebnissen aus 1. und 2. berechnet werden. Dabei soll gelten: \(a_{0} = 1\), \(a_{n} = \frac{1}{n^2}\), und \(b_{n} = 0\).

Am wichtigsten wäre glaube ich eine Erklärung für 1. und 2. Die 3. Aufgabe würde ich dann noch einmal selbst versuchen..
Vielen Dank schonmal!

Answer 1

Hallo,

mal zwei Ideen:

- Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\int_0^x f(t)dt\). Wenn sie periodisch ist, dann ist \(F(0)=F(2\pi)\), also \(\int_0^{2\pi} f(t)dt=0\). Das ist auch hinreichend.

- Wenn Du die Formeln für A_n und B_n aufschreibst, kann Du sie durch partielle Integration bearbeiten (also sin bzw. cos integrieren und F differenzieren) und findest einen Zusammenhang mit a_n,b_n

Gruß Mathhilf