Zeige, dass f(x) 2Pi-periodisch

Question

Aufgabe:

Sei $a_{k}$∈ℂ, $k$∈ℤ gegeben mit

$\sum_{-\infty}^\infty (1+|k|)|a_{k}|<\infty$

Man soll nun zeigen, dass durch

$f(x):=\sum_{-\infty}^\infty a_{k}e^{ikx}$ für $x$∈ℝ

eine $2\pi$-periodische stetig differenzierbare Funktion definiert wird. Es gelte außerdem

$f'(x)=\sum_{-\infty}^\infty ika_{k}e^{ikx}$ für $x$∈ℝ

Problem/Ansatz:

ich hatte ehrlich gesagt nicht wirklich eine Idee. Ich habe jetzt gesagt, dass

$\sum_{-\infty}^\infty a_{k}e^{ikx}=\sum_{-\infty}^\infty a_{k}[cos(kx)+isin(kx)]\leq \sum_{-\infty}^\infty |a_{k}||cos(kx)+isin(kx)|=\sum_{-\infty}^\infty |a_{k}|\leq \sum_{-\infty}^\infty (1+|k|)|a_{k}|<\infty$

und somit $\sum_{-\infty}^\infty a_{k}e^{ikx}$

gleichmäßig gegen f(x) konvergiert und f(x) somit stetig ist.

Daraus folgt dann $a_{k}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-ikx}dx$

Sind diese Schritte überhaupt sinnvoll und wie mache ich dann weiter?