Aufgabe:
Sei \(a_{k}\)∈ℂ, \(k\)∈ℤ gegeben mit
\(\sum_{-\infty}^\infty (1+|k|)|a_{k}|<\infty\)
Man soll nun zeigen, dass durch
\(f(x):=\sum_{-\infty}^\infty a_{k}e^{ikx}\) für \(x\)∈ℝ
eine \(2\pi\)-periodische stetig differenzierbare Funktion definiert wird. Es gelte außerdem
\(f'(x)=\sum_{-\infty}^\infty ika_{k}e^{ikx}\) für \(x\)∈ℝ
Problem/Ansatz:
ich hatte ehrlich gesagt nicht wirklich eine Idee. Ich habe jetzt gesagt, dass
\(\sum_{-\infty}^\infty a_{k}e^{ikx}=\sum_{-\infty}^\infty a_{k}[cos(kx)+isin(kx)]\leq \sum_{-\infty}^\infty |a_{k}||cos(kx)+isin(kx)|=\sum_{-\infty}^\infty |a_{k}|\leq \sum_{-\infty}^\infty (1+|k|)|a_{k}|<\infty\)
und somit \(\sum_{-\infty}^\infty a_{k}e^{ikx}\)
gleichmäßig gegen f(x) konvergiert und f(x) somit stetig ist.
Daraus folgt dann \(a_{k}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-ikx}dx\)
Sind diese Schritte überhaupt sinnvoll und wie mache ich dann weiter?
